Каковы возможные магнитные поля с постоянной величиной?

Question

Каковы возможные магнитные поля с постоянной величиной?

Физика
векторные поля
магнитостатика
магнитные поля

Эмилио Писанти

Удаленный ответ на этот недавний вопрос побудил меня задуматься об этом, и я не могу найти четкого ответа в верхнем слое результатов Google, поэтому я решил спросить здесь.

Каковы возможные магнитные поля с постоянной величиной?

То есть предположим, что $\mathbf B: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ является

соленоидный, поэтому $\nabla \cdot \mathbf B = 0$ , и
с постоянной величиной $|\mathbf B(\mathbf r)| \equiv B_0$ .

Что можно сказать о $\mathbf B$ ? Является ли условие соленоидальности достаточно сильным, чтобы означать, что $\mathbf B(\mathbf r)$ должно быть постоянное векторное поле? Или возможно ли, чтобы направление векторного поля менялось от точки к точке? Если да, то можно ли сформулировать общее описание этого класса полей?

насу

Когда вы говорите «постоянно», вы имеете в виду отсутствие изменений во времени или пространстве? Я думаю, что ответ @knzhou предполагает, что вы спрашиваете об изменении времени. Я думаю, что это более обычное значение. Поле однородно, если значение везде одинаково (хотя бы в какой-то области).

Эмилио Писанти

@nasu Это требование постоянной величины поверх магнитостатической (т.е. постоянной во времени) структуры. Математическая спецификация однозначна.

Джейкоб1729

@EmilioPisanty Я думаю, что один из подходов здесь может состоять в том, чтобы написать

B = \nabla \times A

$B=\nabla \times A$ где

\nabla \cdot A = 0

$\nabla\cdot A = 0$ . Требование этого

\nabla (| B^{2} |) = 0

$\nabla(|B^2|)=0$ затем даст вам условие на

A

$A$ хотя я не уверен, что это красиво.

пользователь4552

Я предполагаю, что вы исключаете ток в плоскости, потому что поле не является регулярным в плоскости?

Эмилио Писанти

@ Бен, я исключал это в первую очередь потому, что не думал о такой возможности ;-). Но да, вероятно, было бы неплохо ограничить это обычными полями.

Ответы (2)

Каковы возможные магнитные поля с постоянной величиной?

Когда вы говорите «постоянно», вы имеете в виду отсутствие изменений во времени или пространстве? Я думаю, что ответ @knzhou предполагает, что вы спрашиваете об изменении времени. Я думаю, что это более обычное значение. Поле однородно, если значение везде одинаково (хотя бы в какой-то области).
@nasu Это требование постоянной величины поверх магнитостатической (т.е. постоянной во времени) структуры. Математическая спецификация однозначна.
@EmilioPisanty Я думаю, что один из подходов здесь может состоять в том, чтобы написать $B=\nabla \times A$ где $\nabla\cdot A = 0$ . Требование этого $\nabla(|B^2|)=0$ затем даст вам условие на $A$ хотя я не уверен, что это красиво.
Я предполагаю, что вы исключаете ток в плоскости, потому что поле не является регулярным в плоскости?
@ Бен, я исключал это в первую очередь потому, что не думал о такой возможности ;-). Но да, вероятно, было бы неплохо ограничить это обычными полями.

Кнчжоу · Answer 1

Частичный ответ: если токов нет, то все такие магнитные поля должны быть постоянными.

В отсутствие токов имеем

\nabla \cdot Б "=" 0, \nabla \times Б "=" 0.

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{B} = 0.$ Условие отсутствия завитков эквивалентно

\partial_{i} B_{j} = \partial_{j} B_{i}

$\partial_i B_j = \partial_j B_i$ , что становится ясно, если записать его в терминах дифференциальных форм. В результате лапласиан любой компоненты поля обращается в нуль,

\partial^{2} Б_{я} "=" \partial_{Дж} \partial_{Дж} Б_{я} "=" \partial_{Дж} \partial_{я} Б_{Дж} "=" \partial_{я} (\partial_{Дж} Б_{Дж}) "=" 0.

$\partial^2 B_i = \partial_j \partial_j B_i = \partial_j \partial_i B_j = \partial_i (\partial_j B_j) = 0.$ Следовательно, лапласиан квадрата величины равен

\partial^{2} | Б |^{2} "=" 2 Б_{я} \partial^{2} Б_{я} + 2 (\partial_{Дж} Б_{я}) (\partial_{Дж} Б_{я}) "=" 2 (\partial_{Дж} Б_{я})^{2} .

$\partial^2 |\mathbf{B}|^2 = 2B_i \partial^2 B_i + 2 (\partial_j B_i)(\partial_j B_i) = 2 (\partial_j B_i)^2.$ С

| B |^{2}

$|\mathbf{B}|^2$ постоянна, левая часть равна нулю, как и каждый член в правой части. Но потом

\partial_{j} B_{i} = 0

$\partial_j B_i = 0$ , так

B

$\mathbf{B}$ постоянно.

Когда есть токи, подбираем лишний член,

\partial^{2} Б_{я} \sim (\nabla \times \nabla \times Б)_{я} \sim (\nabla \times Дж)_{я} .

$\partial^2 B_i \sim (\nabla \times \nabla \times \mathbf{B})_i \sim (\nabla \times \mathbf{J})_i.$ Следовательно, аргумент также проходит, если

\nabla \times J = 0

$\nabla \times \mathbf{J} = 0$ . Я не уверен, что ответ для общего

J

$\mathbf{J}$ .

А. Ньюэлл · Answer 2

Энергия магнитного поля равна [Jackson, Classical Electrodynamics (1975) p. 216, переведено в единицы СИ]

Вт "=" \frac{1}{2} \int ЧАС \cdot Б г^{3} Икс .

$W = \frac{1}{2}\int \mathbf{H}\cdot\mathbf{B} d^3 x.$

В вакууме,

ЧАС "=" Б / {мю}_{0},

$\mathbf{H} = \mathbf{B} / \mu_0,$

так

Вт "=" \frac{1}{2} \int Б^{2} г^{3} Икс .

$W = \frac{1}{2}\int B^2 d^3 x.$

Интегрированная по всему пространству энергия поля с постоянной $B^2$ бесконечен, если только $B=0$ . Таким образом, единственно возможное магнитное поле с постоянной величиной тождественно равно нулю. Обратите внимание, что направление $\mathbf{B}$ не имеет значения, потому что это точечный продукт сам с собой.

В диамагнетике или парамагнетике замените $\mu_0$ к $\mu$ и вы получите тот же результат. Это не значит, что существуют бесконечные диамагнитные или парамагнитные тела!

В нем говорится, что возможные магнитные поля с постоянной величиной тождественно равны нулю. Как это не отвечает на вопрос?
Это отвечает на вопрос в заголовке, но не на вопрос в теле. Я предполагаю, что это технически правильно, но я думаю, что это было ясно из вопроса, что дух состоит в том, «что говорят уравнения Максвелла о поле постоянной величины?
Негативные реакции кажутся мне странными, и это еще один пример того, какой враждебной средой является Stack Exchange. Это второй раз, когда я дал правильный ответ и за него проголосовали. Если я могу продемонстрировать, что поле тождественно равно нулю, что еще стоит сказать?
Вы не показали, что магнитное поле равно нулю, вы показали, что если магнитное поле постоянно в бесконечном пространстве и энергия магнитного поля должна быть конечной, то и магнитное поле должно быть равно нулю. Это не предположения, скорее всего, ОП примет. Аналогичный аргумент говорит о том, что Вселенная не может быть изотропной.
И что вы подразумеваете под "этими" предположениями? Я не предполагал, что магнитное поле постоянно, только его величина, что было явной частью вопроса.
Вас, вероятно, минусуют, потому что, предполагая конечную энергию, вы как бы обходите весь вопрос. Это как отвечать на вопрос о простом гармоническом движении словами «простое гармоническое движение совершенно невозможно, потому что оно обязательно будет продолжаться вечно, но через 5 миллиардов лет Солнце поглотит Землю».
Так или иначе, нужно иметь граничные условия, которые никто другой не рассматривал. Требование конечной энергии подразумевает один тип граничного условия («регулярность на бесконечности»), который обычно используется в основах ферромагнетизма.

Каковы возможные магнитные поля с постоянной величиной?

Эмилио Писанти

Каковы возможные магнитные поля с постоянной величиной?

насу

Эмилио Писанти

Джейкоб1729

пользователь4552

Эмилио Писанти

Ответы (2)

Кнчжоу

А. Ньюэлл

пользователь4552

А. Ньюэлл

Хавьер

А. Ньюэлл

Накопление

А. Ньюэлл

А. Ньюэлл

Кнчжоу

А. Ньюэлл

Являются ли силовые линии на диаграмме стержневого магнита контурными линиями?

Почему rot плотности тока ∇×J⃗ ∇×J→\nabla \times \vec{J} равен нулю?

Уравнение для поля магнитного диполя

Что такое вектор намагниченности и как его вычислить?

Что означает вектор магнитного поля?

Почему поле соленоида выглядит так?

Как применить закон Ампера к неплоским петлям?

Сила движущегося магнитного поля на неподвижный заряд

Что такое «поле» в физике? Как что-то может влиять на что-то на расстоянии? [дубликат]

Как «обнаруживаются» магнитные поля?