Уравнение для поля магнитного диполя

На страницах 187 и 188 Джексон объясняет причину этого единственного термина. Если взять диполь, намагниченность которого распределена равномерно по сфере радиусом$R$то можно показать, что$\int_{r<R} \textbf{B}\: d^3{x} =\frac{2\mu_0}{3}\textbf{m}$где$\textbf{m}$- полный дипольный момент. По мере уменьшения радиуса сферы$R\to 0$сфера становится точечной, но интеграл остается прежним.

Интересно, что если бы диполь возник из-за пары монопольных зарядов, бесконечно близких друг к другу, а не из-за циркулирующего тока, то член в правой части был бы$-\frac{\mu_0}{3}\textbf{m}$. На стр. 191 Джексон отмечает, что сверхтонкая линия водорода будет на 42 см, а не на 21 см и т. д. Это противоречит эксперименту, подразумевающему, что источником собственного магнитного диполя является ток.

Используя некоторую дельта-магию Дирака, можно также очень интересно преобразовать приведенную вами формулу для поля B, а именно:

$$\textbf{B}(\textbf{r}) = \mu_0 \textbf{m}\delta(\textbf{r}) - \mu_0 \nabla\frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$$ скаляр$\phi(\textbf{r})= \frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$это, конечно, потенциал диполя$\textbf{m}$.

Вот если бы вместо одного диполя$\textbf{m}$у нас есть такое распределение, что$d\textbf{m}=\textbf{M}dV$тогда мы получаем

$\textbf{B}(\textbf{r}) =\left\{\begin{matrix} \mu_0 \textbf{M}(\textbf{r})+ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\in V\\ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\notin V \end{matrix}\right.$

Намагниченность занимает 3d-область$V$и$\textbf{H}$определяется как градиент скалярного потенциала

$$\textbf{H}(\textbf{r})=-\nabla\phi(\textbf{r})$$ и $$\phi(\textbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{\textbf{r}'\in V} \frac{\textbf{M}\cdot (\textbf{r}-\textbf{r}')^0} {|\textbf{r}-\textbf{r}'|^2}dV$$