Почему rot плотности тока ∇×J⃗ ∇×J→\nabla \times \vec{J} равен нулю?

Я думаю, что лучший способ вывести это - сначала соблюсти закон Био-Савара ,

$$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\hat{r}}{r^2}\,\mathrm dV'\tag{1}$$ С $$\frac{\hat r}{r^2}=-\nabla_r\left(\frac1r\right)$$ (ваш текст может вывести это, если нет, вы можете доказать это, начав с правой стороны), мы можем записать (1) как $$\mathbf B(\mathbf r)=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\nabla_r\left(\frac{1}{r}\right)\,\mathrm dV'\tag{2}$$ С $\mathbf J$это функция или $r'$и не $r$, мы можем поместить его в круглые скобки и поменять местами порядок перекрестного произведения (т. е. $\mathbf J\times\nabla=-\nabla\times\mathbf J$), $$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla_r\times\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'\tag{3}=\nabla_r\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'$$ Тогда мы можем определить векторный потенциал как $$\mathbf A(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'$$ Получить $$\mathbf B(\mathbf r)=\nabla\times\mathbf A(\mathbf r)\tag{4}$$ где мы опускаем индекс $r$потому что подразумевается, что все кончено $\mathbf r$.

Закончив доказательство, мы можем взять расходимость (4):

$$\nabla\cdot\mathbf B=\nabla\cdot\nabla\times\mathbf A\equiv0$$ тем фактом, что дивергенция каждого завитка тождественно равна нулю (это стоит усилий, чтобы доказать это).

Я также не люблю, когда авторы утверждают, что вещи очевидны. Если это так просто, то почему бы просто не написать.

Во всяком случае, относительно этого конкретного случая. Если вы перейдете к определению curl, то увидите, что это набор частных производных по положению .

Таким образом, утверждать, что ротор равен нулю, означает утверждать, что скорость не зависит от положения частиц, т.е. предполагается, что других полей, будь то гравитационное или электрическое, нет.

Это дивергенция B-поля, а не фактический источник. Он должен был написать$\boldsymbol u'$для вектора скорости.

$\boldsymbol J$можно определить как безвихревой, но на самом деле не существует такого понятия, как плотность тока без завихрения.

Даже внутри течения вы обнаружите, что течение имеет тенденцию закручиваться по спирали вокруг оси течения. Физика плазмы очень сложна.

Ответ Каноса хорош. Чтобы лучше понять это, обратите внимание на закон BS, который он упомянул вначале.

$$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\hat{r}}{r^2}\,\mathrm dV'\tag{1}$$ r от B слева — это радиус-вектор от начала координат, вашей точки наблюдения. Но r в интегральной формуле следует считать расстоянием от источника ($r'$) к позиции, которую вы сейчас рассматриваете. Таким образом, (по привычке моего учителя) я бы написал $$\mathbf B(\mathbf x)=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\mathbf {r}}{r^3}\,\mathrm dV'\tag{1}$$ где $$\frac{\mathbf {r}}{r^3} = \frac{\hat {r}}{r^2} = \nabla \left(-\frac {1}{r}\right)$$ Кроме того, Его ответ точно показывает логику, когда вы вводите векторный потенциал .

Это кажется мне "Правильный ответ, неверная причина". Рассмотрим классическую задачу магнитостатики, которую можно решить, используя закон Ампера, бесконечно длинный проводник с током с постоянной плотностью тока.$J$и радиус$R$. Используя закон Ампера, вы обнаружите, что

$$\begin{align} \mathbf{B}(r) &= \left\{\begin{array}{ll} \mu_0\frac{J\pi R^2}{2\pi r} \hat{\phi} & r \ge R \\ \mu_0\frac{J\pi r^2}{2\pi r}\hat{\phi} & r < R. \end{array}\right. \end{align}$$

Внутри проволоки завиток$\mathbf{J}$равен нулю, то же самое для вне провода. Однако на поверхности проволоки завиток$\mathbf{J}$имеет всплеск (дельта-функция Дирака), который можно проверить с помощью теоремы Стокса.

Правильный ответ состоит в том, что вывод, который дала книга, неоднозначен. Ответ Каноса дает одну альтернативу, но векторный потенциал не нужен. Что вам действительно нужно, так это выразить отношения, используя нотацию, которая немного более подробная, но недвусмысленная. Мы разделили$r$из закона Био-Савара получить две независимые переменные — одну, которая является переменной интегрирования, другую, которая таковой не является.

$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \operatorname{d}^3 r'.$$ Уведомление:$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$не является функцией$\mathbf{r}$, поэтому, когда вы пытаетесь взять какие-либо производные по любому$\mathbf{r}$координаты вы получите ноль.

Итак, мы получаем:

$$\begin{align} \nabla\cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) & = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \nabla\cdot \left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \right] \operatorname{d}^3 r'. \end{align}$$ Теперь примените идентичность векторного исчисления векторного произведения ,$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{B} - \mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$с$\mathbf{A}=\mathbf{J}$и$\mathbf{B}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3}$получить $$\begin{align} \nabla\cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) & = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \left[(\nabla\times\mathbf{J}(\mathbf{r}'))\cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} - \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot \left(\nabla\times\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \right)\right] \operatorname{d}^3 r'. \end{align}$$ Первое перекрестное произведение исчезает, потому что$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$не является функцией$\mathbf{r}$и$\nabla$является производной в$\mathbf{r}$координаты. То, что второе перекрестное произведение исчезает, можно показать с помощью небольшой алгебры или некоторых трюков, обсуждаемых в других ответах.

Рот векторного поля$\vec v$

$$\nabla \times \vec v$$ измеряет вращательное движение векторного поля.

Возьмите руку, вытяните большой палец и согните пальцы.

Если большой палец является моделью потока векторного поля, то

$$\nabla \times \vec v =0.$$

Если сгибание ваших пальцев является моделью течения векторного поля, то

$$\nabla \times \vec v \neq 0$$

и измеряет вращательное движение векторного поля.

Отсюда и название «кудрявый».