Категорический подход к теории узлов?

Чтобы «изучить X с точки зрения Y», у вас должны быть веские основания полагать, что язык Y эффективен для изучения X. (Представьте, что вы читаете вопрос, озаглавленный «теоретико-узловой подход к теории категорий». Почему узлы должны помочь мы понимаем категории?) Не аргументируя, что что-то плодотворно, мы гоняемся за призраками.

В конечном итоге вам нужно определить, что такое вложение узлов, вам нужно определить, что такое изотопия узлов, чтобы говорить о группах узлов, вам нужно знать, что такое дополнение узла, чтобы говорить о теореме Райдемайстера, вам нужно знать, что такое проекции узлов. (и сама теорема Рейдемейстера вряд ли является чистой формальностью, она требует реального размышления о том, как выглядят изотопии PL при проекции на плоскость). Чтобы говорить о причудливых вещах, которые могут вас волновать, вроде полинома Джонса или гомологии Хованова, вам нужно знать, что такое диаграмма пересечения и что такое движения Рейдемейстера, а также связь изотопии узлов с диаграммами пересечения по модулю движений Рейдемейстера. И так далее, и так далее.

Я не вижу причин, по которым модельные категории или гомотопическая теория могут дать хотя бы одно понимание вышеизложенного.

Конечно, существует, скажем, симплициальное множество, вершины которого являются вложениями$S^1 \to S^3$и чьи ребра являются изотопиями (а k-ячейки являются вложенными сечениями проекции$S^3 \times \Delta^k \to \Delta^k$). Это дает вам пространство узлов, что интересно, но не помогает ни с чем, о чем я упоминал выше.

Существует также, скажем, категория («категория согласованности»), объекты которой являются вложениями$j: S^1 \to S^3$и чьи морфизмы$\text{Hom}(i,j)$являются вложениями$H: [0,1] \times S^1 \to [0,1] \times S^3$так что$H(t,z) = (t, i(z))$для$t \in [0, \epsilon)$пока$H(t, z) = (t, j(z))$для$t \in (1-\epsilon, 1]$. Но это дополнительная вещь, которую вы можете изучать/исследовать, соединяя 3-х мерную теорию узлов и 4-х мерную (поверхностную) теорию узлов. Это как-то не поможет вам с основами.

Вам нужно испачкать руки. Нет никаких волшебных категоричных идей, которые позволят этого избежать.

Одна часть теории узлов, где теория категорий полезна, - это изучение инвариантов узлов. Ранний метод заключался в использовании теоремы Маркова о том, что каждый узел является замыканием косы. Находя представления группы кос, у которых есть «след», удовлетворяющий определенным свойствам, вы можете получить инварианты узлов, такие как многочлены Джонса и ХОМФЛИ. Группа кос оказывается группой обратимых эндоморфизмов более крупной категории, категории сплетения , и представления, каждое из которых обобщается до функторов из категории сплетения в категорию представлений квазитреугольной алгебры Хопфа (например, так называемая квантовые группы, некоторые деформации универсальных обертывающих алгебр алгебр Ли). Все это подпадает под рубрику «топологической квантовой теории поля» или ТКТП.

Узлы и теория представлений тесно переплетены. Вот один пример. В классической теории представлений один из аспектов двойственности Шура-Вейля состоит в том, что каждый эндоморфизм$V^{\otimes n}$который ездит с$SL(V)$действие можно записать как линейную комбинацию перестановок. Для$U_q(\mathfrak{sl}(2))$, квантовая деформация$\mathfrak{sl}(2)$, перестановки заменяются линейными комбинациями кос. (Однако линейные отображения из перестановок и кос не инъективны.)

Гомологии Хованова — это «категоризация» многочлена Джонса. Многочлены заменяются модулями (в частности, цепными комплексами), а некоторые виды отображений между узлами (конкордантность узлов) сводятся к гомоморфизмам цепных комплексов. Есть статья Лауды и Пфайффера , которая, кажется, дает конструкцию гомологий Хованова для связок, но я не уверен, дает ли она функториальную конструкцию в указанном выше смысле (я действительно ее не читал).

Я знаю людей, которые работают над TQFT с небольшой геометрической интуицией. Им трудно понять мои диаграммы, а мне трудно следить за их манипуляциями с обозначениями Свидлера. Возможно, это говорит о том, что эти вещи не являются «настоящей» теорией узлов, но теория узлов — это большой предмет. Я сам нашел бы все это очень трудным, если бы у меня не было твердой основы в геометрической топологии и трехмерных многообразиях.

Еще одна(ие) книга(и), которые могут быть вам интересны, принадлежат Кауфману. Ему нравится работать с узлами как с формальными комбинаторными объектами, и это хорошо поддается категоричной трактовке.