Проектная работа по алгебраической топологии (с категориальным привкусом): предложения по темам.

Вот некоторые предложения

-Спектральные последовательности

Спектральная последовательность Серра, в частности, является очень мощным инструментом для вычисления гомологии всякий раз, когда у вас есть «расслоение».$F \rightarrow E \xrightarrow \pi B$(расслоение — это очень общее понятие пучка волокон), и вы знаете$H_*(B)$и$H_*(F)$вы можете с помощью спектральной последовательности Серра вычислить$H_*(E)$в благоприятных случаях, и если вы знаете$H_*(B)$и$H_*(E)$вы можете работать в обратном направлении, чтобы вычислить$H_*(F)$. Я бы порекомендовал эту тему, если ваше изложение должно быть очень кратким, поскольку вам не нужно так много фоновых знаний, чтобы понять спектральные последовательности. Хотя их может быть трудно понять в первый раз, когда вы их видите. В Hatcher есть раздел, посвященный спектральным последовательностям.

-пучковые когомологии

Это, безусловно, категорический характер, но явно не связанный с гомотопией, вы определяете и изучаете когомологии пучка$\mathscr F$над пространством$X$. Сноп — это набор групп$\mathscr FU$для всех открытых$U \subset X$вместе с картами$\mathscr FU \rightarrow \mathscr F V$в любое время$V$является подмножеством$U$. Для локально стягиваемых пространств сингулярные гомологии$X$совпадает с пучковыми когомологиями$X$относительно конкретного пучка.

-Симплициальная гомотопическая теория

Мне лично очень нравится эта тема. Вы изучаете «симплициальные множества», которые представляют собой другую форму пространств, они состоят из последовательности множеств.$X_n$из$n-$симплексы и карты лиц$X_i \rightarrow X_{i-1}$которые расскажут вам, как$i-$симплексы связаны с$(i-1)-$симплексы. С помощью методов симплициальной гомотопической теории можно доказать, что$H^i(X,G) = [X,K(G,n)]$когда$X$это$CW$-сложный. «Симплициальная гомотопическая теория» Гёрса-Жардинеса — очень хорошая книга по этой теме.

Вы найдете доказательства, которые ищете, в Heuts, Meier — Algebraic Topology II . Также в том же pdf есть доказательство представимости функтора когомологий, что очень круто.

Еще одна тема, которая, по моему мнению, была бы отличной, — это эквивалентность стандартной модельной категории топологических пространств и категории симплициальных множеств, которая рассматривается в книге Двайера, Спалинского — Гомотопические теории и модельные категории . К сожалению, я не знаю, можно ли осветить эту последнюю тему в кратком изложении, и для этого потребуется узнать немного больше, чем те, которые вы упомянули.

Дайте мне знать, как идут дела.

РЕДАКТИРОВАТЬ: спектральные последовательности - отличная идея, как предложил другой пользователь. Они также рассматриваются в первом упомянутом мной PDF-файле, в котором приводится множество соответствующих примеров того, как использовать их для вычисления групп (ко)гомологий и гомотопических групп пространства, используя, например, башни Постникова.