Использование теории категорий в алгебраической топологии

Список возможных тем, которые вы предоставляете, различается по своим категорическим требованиям от относительно легких (например, дифференциальная топология) до довольно сложных (например, спектры, категории моделей). Таким образом, лучший ответ может быть возможен, если вы знаете больше о направленности курса.

Однако мое личное предубеждение в отношении теории категорий и топологии заключается в том, что вы должны в основном просто изучать то, что вам нужно, по ходу дела. Язык категорий и гомологической алгебры был в значительной степени изобретен топологами и геометрами, которые имели в виду определенную потребность, и, на мой взгляд, очень полезно изучать абстракцию одновременно с тем, что нужно абстрагировать. Например, аксиомы, определяющие модельную категорию, вероятно, покажутся полной бессмыслицей, если вы попытаетесь просто взглянуть на них, но они кажутся естественными и значимыми, когда вы рассматриваете структуру модели на категории, скажем, симплициальных множеств в топологии.

Так что, если вы думаете о том, чтобы просто купить книгу по категориям и потратить месяц на ее чтение, я думаю, ваше время лучше потратить на другие цели. Это было бы немного похоже на покупку книги по теории множеств перед прохождением курса реального анализа — язык множеств, безусловно, важен и актуален, но вы, вероятно, сможете изучить его по ходу дела. Многие книги по топологии написаны с таким же отношением к категориям.

Все это говорит о том, что если у вас есть особая причина для беспокойства по этому поводу (например, если вы беспокоитесь о человеке, ведущем курс) или если вы относитесь к тому типу людей, которым нравится возиться с диаграммами ради них самих (некоторые люди сделать), то вот несколько предложений. Теория категорий часто входит в топологию как способ организовать всю задействованную гомологическую алгебру, так что не помешает освежить ее. Возможно, вы уже познакомились с языком точных последовательностей и цепных комплексов; если нет, то это было бы хорошим местом для начала (хотя это будет очень сухо без какой-либо мотивации). Групповые когомологии сами по себе являются важным предметом, и они могут помочь вам лучше изучить язык в достаточно знакомой обстановке. Альтернативно,

Я согласен с очень хорошим ответом Пола Сигела и просто хотел бы добавить одну вещь, которая слишком длинна для комментария.

В зависимости от того, какое направление вы выберете, алгебраическая топология может стать практически синонимом теории высших категорий. Это может произойти несколькими способами. Во-первых, категория топологических пространств имеет в качестве своих объектов пространства, непрерывные отображения в качестве своих морфизмов, гомотопии в качестве своих 2-морфизмов, гомотопии между гомотопиями в качестве своих 3-морфизмов и т. д. по сути, чтобы создать общую основу для изучения высших категорий, которые могут (или не могут) выглядеть как категории пространств. Но тогда и сами высшие категории тоже очень похожи на пространства. В этой аналогии функторы подобны непрерывным отображениям, естественные преобразования подобны гомотопиям и т. д. (Тот факт, что существуют два совершенно разных способа взаимодействия пространств и категорий, действительно ошеломил меня, когда я впервые увидел это.)

В любом случае, дело в том, что если вы серьезно занимаетесь алгебраической топологией, вам, возможно, в конечном итоге придется очень подружиться с теорией категорий и смириться с использованием нелепых и пугающих фраз, таких как «гомотопическое левое расширение Кана» и тому подобное. Кажется, что использование теории высших категорий в алгебраической топологии находится на подъеме, поэтому вполне возможно, что через двадцать лет у алгебраических топологов не будет другого выбора, кроме как хорошо разбираться во всем этом. (Конечно, нет. По крайней мере, пока.) Просто предупреждение.

Узкие места кажутся К-теорией и категориями моделей. Я не могу придумать какие-либо категориальные инструменты, которые вам нужны для любой из других тем, которые не являются подходящим подмножеством тех, которые используются в этих двух. Тогда это зависит, как и все в математике, от того, насколько глубоко вы хотите пойти. Мой совет: возьмите книгу на эти темы и просто попробуйте ее прочитать. Вы сразу увидите, какой категориальный язык вам нужен. Большинство книг по топологии особо выделяют любые категориальные рассуждения, а многие даже включают приложение по теории категорий.