Когда эрмитов оператор имеет вещественные матричные элементы?

Я буду использовать брекет-нотацию, но мой вопрос не относится к квантовой механике. Вместо этого меня интересовал бы общий ответ для операторов в некотором гильбертовом пространстве. Позволять ЧАС быть эрмитовым оператором с собственными состояниями | я ⟩ , так что ЧАС | я ⟩ "=" Е я | я ⟩ , где некоторые собственные значения могут быть вырожденными. Теперь рассмотрим другой эрмитов оператор А . Этот оператор может быть представлен в виде матрицы в базисе { | я ⟩ } собственных векторов ЧАС , с элементами

А я Дж "=" ⟨ я | А | Дж ⟩
Отшельничество А затем требует А Дж я "=" А я Дж * . Однако в общем случае эти матричные элементы могут быть сложными. У меня вопрос следующий: можно ли сформулировать условие на А , вероятно, по отношению к ЧАС , такие что матричные элементы А в базисе, образованном собственными векторами ЧАС настоящие, А Дж я "=" А я Дж , если это условие выполнено?

Я думаю, что в некоторых ситуациях может быть достаточно простого умножения на фазовый коэффициент. Предполагая А я Дж сложны, можно написать

А я Дж "=" | А я Дж | е я ф я Дж
Теперь рассмотрим преобразование к новым базисным векторам, заданным формулой | я ′ ⟩ "=" е я ν я | я ⟩ . Это все еще собственные состояния ЧАС и матричные элементы А в этой новой основе даются
А я Дж ′ "=" | А я Дж | е я ( ф я Дж + ν Дж − ν я )
Итак, если есть решение для ν я к набору н 2 уравнения (где н число собственных состояний ЧАС , поэтому размерность гильбертова пространства) определяется выражением
ф я Дж + ν Дж − ν я "=" 0 ,
тогда оператор А может быть представлено вещественной матрицей в этом базисе. Я полагаю, что такое решение существует в случае, когда фазы удовлетворяют соотношению ф я Дж + ф Дж к "=" ф я к . Однако я не думаю, что фазы общего оператора А обязательно удовлетворяют этому условию. В противном случае система уравнений может не иметь решения, поскольку н 2 ограничений, а только н переменные ν я решить для.

Существует ли общая связь между А и ЧАС что приводит к представлению А с точки зрения матрицы с вещественными элементами?

Ответы (1)

я не думаю, что ты получишь н 2 уникальные уравнения, поскольку комплексными могут быть только недиагональные элементы. Далее нужно рассматривать только верхние недиагональные, так как нижние недиагональные являются лишь их комплексно-сопряженными. Это оставляет вас с полным набором н ( н − 1 ) 2 фазы ф я Дж . Изменение масштаба н базисные векторы по произвольной фазе также дает вам н ( н − 1 ) 2 возможности для различий ν я − ν Дж .

Например, возьмем случай н "=" 3 . У нас есть фазы ф 12 , ф 13 , ф 23 для верхних недиагональных элементов и минус для нижних недиагональных элементов. Масштабируя базовые элементы, имеем

ф 12 "=" ν 1 − ν 2 , ф 13 "=" ν 1 − ν 3 , ф 23 "=" ν 2 − ν 3 .

РЕДАКТИРОВАТЬ: как указал пользователь @Dvij DC, этот случай работает с н ( н − 1 ) 2 "=" н имеет решение, когда н "=" 3 , т. е. количество независимых переменных равно количеству уравнений на разности. В более высоких измерениях количество уравнений будет больше, чем количество независимых переменных, и поэтому в общем случае это будет невозможно, если фазы не будут выбраны определенным образом.

Вы правы, что будет н ( н − 1 ) / 2 независимых уравнений, но независимые переменные только н , н ν я с. Вы не можете присвоить согласованные значения н ν я s, если вы хотите присвоить независимые значения н ( н − 1 ) / 2 Δ ν я Дж с. Дело н "=" 3 получится, потому что н ( н − 1 ) / 2 "=" н для н "=" 3 . Дайте мне знать, если я что-то упустил.
Да, действительно, вы абсолютно правы. Мой ответ в его нынешнем виде неверен. Я исправлю это сейчас.
@Dvij DC Да, я понимаю, что на самом деле это не ответ на вопрос ОП после редактирования. Правильно ли в такой ситуации удалить мой ответ?
Я не уверен 😅 Но оставьте комментарий, указав, что количество независимых уравнений будет н ( н − 1 ) / 2 и не н 2 если вы решите удалить свой ответ. Это не отвечает на вопрос OP об определении условий относительно того, когда оператор может быть сделан реальным, но если таких хороших общих условий не существует, то, возможно, это лучший ответ. Лично я бы оставил его открытым, пока пара других пользователей не выскажет свое мнение.
Я согласен, что количество независимых уравнений сводится к н ( н − 1 ) / 2 , но, как уже было сказано, есть только н переменные, и этот метод не работает для н > 3 .
Когда эрмитов оператор имеет вещественные матричные элементы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v