Представление операторов в квантовой механике

Если гильбертово пространство рассматриваемой системы конечномерно, то в данном базисе гильбертова пространства гамильтониан (и любой другой наблюдаемый в этом отношении) будет представлен матрицей.

Если гильбертово пространство бесконечномерно, то ситуация несколько иная. В квантовой механике мы обычно предполагаем, что гильбертовы пространства, с которыми мы имеем дело, сепарабельны , что означает, что они допускают счетный ортонормированный базис. Представление гамильтониана в любом таком базисе будет «матрицей», которая является «бесконечномерной».

Рассмотрим, например, квантовый гармонический осциллятор. Позволять$B = \{|n\rangle\}$обозначим собственный базис энергии, где$|n\rangle$- собственный вектор энергии с собственным значением$E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega$, то гамильтониан в этом базисе выглядит следующим образом:

$$\begin{align} [\hat H]_B = \begin{pmatrix} E_0 & & & \\ & E_1 & & \\ & & E_2 & \\ & & & \ddots\\ \end{pmatrix} \end{align}$$ Более того, оператор импульса также представляется в этом базисе в виде «бесконечномерной» матрицы. Напомним, что оператор импульса можно записать в терминах операторов рождения и уничтожения следующим образом: $$\begin{align} \hat p = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger - \hat a) \end{align}$$ который дает $$\begin{align} \langle m|\hat p|n\rangle &= i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\sqrt{n+1}\langle m|n+1\rangle - \sqrt{n}\langle m|n-1\rangle) \\ &= i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\sqrt{n+1}\delta_{m,n+1} - \sqrt{n}\delta_{m,n-1}) \end{align}$$ и поэтому мы можем легко выписать несколько первых элементов оператора импульса, записанных в собственном базисе энергии: $$\begin{align} [\hat p]_B = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}\left( \begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & & \\ 1 & 0 & -\sqrt{2} & & \\ & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & \\ & & \sqrt{3} & 0 & \ddots \\ & & & \ddots & \ddots \\ \end{array} \right) \end{align}$$ С другой стороны, каждое состояние в гильбертовом пространстве можно записать в так называемом положении $\{|x\rangle\}$и импульс $\{|p\rangle\}$"базы". Строго говоря, это не базисы гильбертова пространства, но они в значительной степени работают одинаково в том смысле, что данное состояние может быть записано как интеграл по этим «непрерывным» базисным элементам, а не как суммы по «дискретным» базисам; $$\begin{align} |\psi\rangle &= \int_{\mathbb R}dx\psi(x)|x\rangle, \\ |\psi\rangle &= \int_{\mathbb R}dp\tilde\psi(p)|p\rangle \end{align}$$ В этих обозначениях каждому физическому состоянию соответствует интегрируемая с квадратом функция $\psi$в основе положения и $\tilde\psi$в основе импульса. Именно в этих «базах» различные наблюдаемые представлены операторами умножения/дифференциала в функциональном пространстве. В частности, например, оператор импульса представляется следующим образом: $$\begin{align} (\hat p\psi)(x) &= \langle x|\hat p|\psi\rangle = \frac{\hbar}{i}\frac{d\psi}{dx}(x) \\ (\hat p\tilde\psi)(p) &= \langle p|\hat p|\psi\rangle = p\tilde \psi(p). \end{align}$$ Короче говоря, представление наблюдаемых, будь то представление матрицы или дифференциального оператора, зависит от базиса, в котором вы решили их представить.