Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

В конечномерном векторном пространстве у нас есть базы, состоящие из конечного количества элементов:$\{e_1,...,e_n\}$, где$n$является размерностью пространства. Если$A$является линейным оператором в пространстве, то$A(e_j)$является вектором для каждого допустимого значения$j$, а как вектор, его можно разложить и по базису:

Если$v$— произвольный вектор, его тоже можно разложить, так как$v=\sum_{j=1}^nv_je_j$. Затем$A(v)=A\left(\sum_jv_je_j\right)=\sum_jv_jA(e_j)=\sum_jA_{ij}v_je_i$, Итак$i$компонент$A(v)$является$\sum_jA_{ij}v_j$и это выражение можно представить в виде матричного произведения между$n$к$n$квадратная матрица, чья$ij$элемент, если$A_{ij}$и матрица-столбец, чья$j$элемент$v_j$.

Но вы это уже знаете.

В квантовой механике мы работаем с сепарабельным гильбертовым пространством. Сепарабельное пространство — это пространство, имеющее счетное плотное подмножество. Можно показать, что гильбертово пространство допускает ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Итак, «физические» гильбертовы пространства допускают ортонормированные базисы. Под ортонормированным базисом в бесконечномерном гильбертовом пространстве понимается счетное множество$\{e_1,...,e_n,...\}\subset\mathcal{H}$, такой, что$\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$и для любого$x\in\mathcal{H}$, единственное разложение задается в виде бесконечного ряда в виде$x=\sum_{n=1}^\infty x_ie_i$.

Учитывая оператор, мы можем выполнить ту же процедуру на бесконечном ортонормированном базисе, что и в конечном случае, чтобы получить бесконечное матричное представление.

На данный момент я не уверен, возможно ли такое разложение строго только для ограниченных операторов или всех видов операторов, но даже если оно ограничено ограниченными операторами, мы, как хорошие физики, обычно игнорируем этот вопрос и поступаем без особых проблем, как если бы операторы были ограничены.