Когда вихрь потока свободен?

Первое, что нужно понять, это то, что вихри и завихренность — это не одно и то же, несмотря на схожесть слов. Вихрь — это область в потоке со свойствами вращения (в довольно большом масштабе , если хотите), но она может быть безвихревой (нулевая завихренность). Завихренность — это локальное свойство жидкости, скорость вращения воображаемой частицы жидкости в этой точке. Вязкое течение между двумя пластинами на самом деле является вращательным (ненулевая завихренность), хотя и ламинарным (слоистым).

Чтобы ответить на ваш вопрос о потенциальном потоке . Потенциальный поток — это поток, в котором поле скоростей является производным от потенциала. Например, в 2D у нас было бы, учитывая потенциал скорости$\phi$:

$$u = \frac{\partial}{\partial x} \phi\\ v = \frac{\partial}{\partial y} \phi$$ Такое течение обязательно безвихревое ( $\nabla \wedge \vec{u} = 0$), с $$-\frac{\partial}{\partial y}u+\frac{\partial}{\partial x}v = -\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}\phi + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\phi = 0$$ Обратите внимание, что это ничего не говорит нам напрямую о вихрях.

Но как мы узнаем, должны ли мы изначально подозревать потенциальный поток? Явным непроходом являются вязкие течения с непроскальзывающими границами. Граница прилипания (в системе отсчета, где граница покоится) характеризуется

$$\vec{u}\vert_\text{boundary} = 0$$ Жидкость, соприкасающаяся с границей нескользкости (далее просто «стенка»), не движется, а движется та, что чуть выше. Если стена параллельна $x$-оси, то это означает, что изменение потока в $y$-ось должна быть отличной от нуля: $$\frac{\partial}{\partial y} u \neq 0$$ иначе жидкость никогда бы не двигалась. Но раз у тебя это есть, то конечно $\omega= \nabla \wedge \vec{u} \neq 0$слишком! Для вязкой жидкости всегда возникает завихрение на стенке.

Для невязких течений стенки задаются условием

$$\vec{u}\cdot\vec{n}\vert_\text{boundary} = 0$$ т. е . через стенку не может пройти никакой поток, но он вполне может скользить по касательной без какой-либо потери скорости. При разумной геометрии поток может перемещаться, завихрения быть не должно. Я бы не стал ставить на то, что произойдет, если вы вдунете идеальную жидкость в закрытый ящик: трудно поверить, что поток, ударяющийся о стенки ящика (с углами и всем остальным), не будет вращательным, но я должен проверить .

Есть еще один механизм, который может ввести$\partial_y u\neq0$или$\partial_x v \neq 0$: очень специфические силы тела. На самом деле это один из способов изучения турбулентности в периодическом ящике с жидкостью ( т. е . без стенок): вы создаете сдвиг с помощью случайной объемной силы. Но в большинстве случаев вы их не увидите.

В приложениях потенциальный поток особенно используется в приближении невязкого потока вокруг профилей, при этом поток простирается до бесконечности вокруг (избегая «сценария коробки», о котором я упоминал выше). В лучшем случае у вас будет сила гравитации, но в большинстве приближений это хорошее однородное поле.

Более того, в 2D безвихревой невязкий поток остается безвихревым во времени по теореме Кельвина о циркуляции . Хорошая вещь. Вы когда-нибудь замечали, что мы всегда изучаем аэродинамические поверхности в 2D? Интересный.

(Есть еще одна причина для изучения аэродинамических профилей в 2D: подъемная сила секции крыла на единицу длины на самом деле довольно хорошо предсказывается, тогда как в 3D невязких потоках подъемная сила всегда равна нулю! См. другой вопрос. Вот где вступают в действие более продвинутые методы , если вам все равно нужно рассчитывать вещи в 3D.)

Если я что-то упустил, задайте мне несколько вопросов через комментарии, и я постараюсь обновить ответ.

Вы путаете термины. Никогда не предполагается , что поток безвихревой. Вихрь — это общий термин, используемый для описания жидкости, вращающейся вокруг некоторой оси. Потенциальный поток использует предположение, что поток является безвихревым или

$$\vec{\omega} =\vec{\nabla}\times\vec{U} = 0$$ Безвихревое течение действительно может состоять из вихрей. Что еще больше сбивает с толку некоторых людей, так это то, что простое сдвиговое течение не является безвихревым, несмотря на то, что в нем нет физического вращения.

Обоснование справедливости предположения о безвихревости для некоторых несжимаемых течений можно увидеть с помощью уравнения эволюции завихренности

$$\frac{D\vec{\omega}}{Dt}=\nu\nabla^2\vec{\omega} + \vec{\omega}\cdot\nabla\vec{U}$$ Это уравнение показывает, что области, которые вначале были безвихревыми, имеют тенденцию оставаться таковыми в отсутствие внешнего взаимодействия, которое приводит к диффузии завихренности в безвихревые зоны.

Вязкость противостоит соседним слоям жидкости, движущимся друг относительно друга. Если бы у вас был вихрь, то на разном радиальном расстоянии вращающиеся слои жидкости должны были бы иметь разные скорости, чтобы они не двигались мимо друг друга. Представьте, что вы скручиваете жидкость, чтобы образовался вихрь... чтобы образовался вихрь, вы хотите, чтобы жидкость с меньшим радиусом тянулась за жидкостью с большим радиусом и заставляла ее вращаться. В противном случае вы не сможете создавать вихри. Итак, если у вас нет вязкости, вы не можете создавать вихри.

Вязкость не всегда подразумевает вихри, поскольку вы можете подвергнуть жидкость хорошему ламинарному потоку. Как правило, только если вы перемешиваете или каким-то образом «заставляете» жидкость образовывать вихри. Однако все может стать совсем иначе при более высоких числах Рейнольдса, когда поток будет турбулентным, и я не могу с этим справиться.

Предлагаю (мысленный) эксперимент. Вы можете выполнить это и проверить, если хотите. Я просто придумал эту идею и не проводил этот эксперимент. Так что, если кто-то попытается выполнить это, я хотел бы услышать об этом.

Из плотности, давления и вязкости вы можете создать временную шкалу с помощью анализа размеров. Если вы попытаетесь перемешать жидкость быстрее, чем это время, вы (предположительно) заметите, что она начинает формировать вихрь, но не в том случае, если вы будете перемешивать медленнее. В качестве альтернативы должно быть «легче» (с точки зрения скорости перемешивания) образование вихрей в более вязких жидкостях. Обратите внимание, что «легче» в смысле скорости вращения при перемешивании. Для более плотной жидкости вам придется приложить больше усилий для той же скорости перемешивания.