Разница между завихренностью и циркуляцией

Определение завихренности$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$, где$\mathbf{v}$векторное поле скорости.

Теперь, если я посмотрю на вращающийся поток в цилиндрических координатах, я обнаружу, что:

$$\nabla \times \mathbf{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial (r v_{\theta})}{\partial r},$$ в случае свободного вихря я также знаю, что$v_\theta \propto 1/r$и, следовательно, производная в приведенном выше уравнении обращается в нуль для вихря с центром в$r=0$. Другими словами, завихренность везде равна нулю,$\boldsymbol{\omega} = \mathbf{0}$.

Я также могу посмотреть на ситуацию глобально, и вместо локализованного завихрения я возьму линейный интеграл скорости по круговому пути.$r$от центра. В этом случае я нахожу, что:

$$C = \int_{\text{circular path}}{\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l} = 2\pi ru_{\theta}},$$ конечная константа. Но из теоремы Стокса я знаю, что: $$\int_{\text{enclosed area}}{\left(\nabla \times \mathbf{v}\right)\cdot d \mathbf{A}} = \int_{\text{enclosing curve}}{\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}},$$ но если циркуляция — конечная ненулевая константа, то и вихрь должен быть ненулевым где-то в замкнутом пространстве! Таким образом, где-то в векторном поле скорости завихренность отлична от нуля!

Эти два вывода, казалось бы, противоречат друг другу, где я ошибаюсь?