Это низкая точность, но простой ответ

Он позволяет рассчитать только конфигурацию радиального выравнивания планет.

Если вам нужна аппроксимация, скажем, вы аппроксимируете положение планет как стрелок в часах, вы можете вычислить что-то вроде этого.

Предполагать$\theta_i$это начальный угол для планеты$i$вовремя$t_0$- измеряется из произвольного, но фиксированного положения, и$l_i$продолжительность года - в днях - для планеты$i$.

Затем он возвращается к решению этой системы уравнений:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Отсюда вы затем просто примените китайскую теорему об остатках .

Нахождение минимального x даст вам угол, под которым планета находится в$t_0$имел угол$\theta_i = 0$будет двигаться до тех пор, пока не будет достигнута конфигурация выравнивания . Предполагая, что вы выбрали Землю в качестве упомянутой планеты, разделите этот угол на полный оборот ($360^{o}$) и вы получите количество лет для достижения этой конфигурации - от$t_0$конфигурация.

Разные$\theta_i$в градусах для всех планет на 01 января 2014 г. - вы можете использовать это как$t_0$:

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Источник

Разные$l_i$в днях для всех планет:

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

Наконец , при приближении целых значений и использовании этого онлайн-решателя для системы уравнений ответ будет$x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$который делится на$360^{o}$дает вам примерно

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Изменить 1

Только что нашел этот сайт , с которым вы можете поиграть. Это интерактивное флеш-приложение с точным положением планет.

Я также знаю, что всю информацию можно получить с этой страницы НАСА, и она настолько точна, насколько это возможно, но сейчас для меня это просто непонятно. Постараюсь пересмотреть позже, когда найду время.

Также эта книга Жана Миуса под названием «Астрономические алгоритмы» охватывает все фундаментальные уравнения и формулы — однако она не имеет ничего общего с алгоритмами программирования.

Редактировать 2

Учитывая, что вы программист, возможно, вам стоит зайти на сайт НАСА, о котором я упоминал выше, данные по всем планетам можно получить даже через$\tt{telnet}$. Или этот сайт Sourceforge, где есть реализации для многих уравнений, описанных в книге, также упомянутой выше.

Правильный ответ « никогда » по нескольким причинам. Во- первых , как указано в комментарии Флорина, орбиты планет не компланарны и, следовательно, не могут быть выровнены, даже если каждую планету можно произвольно разместить в плоскости своей орбиты. Во- вторых , даже чистого радиального выравнивания никогда не бывает, потому что периоды планет несоизмеримы — их отношения не являются рациональными числами. Наконец , орбиты планет эволюционируют в течение миллионов лет, в основном из-за их взаимного гравитационного притяжения. Эта эволюция (слабо) хаотична и поэтому непредсказуема в течение очень долгого времени.

Неправильный ответ Харогастона по существу аппроксимирует орбитальные периоды ближайшими соизмеримыми числами, что дает очень большое время (хотя он ошибся лишь в множитель$10^{16}$).

Гораздо более интересный вопрос (и, возможно, тот, который вас действительно интересовал) заключается в том, как часто 8 планет почти выстраиваются радиально . Здесь « почти » может просто означать « в пределах$10^\circ$как видно с Солнца ». В таком случае взаимное гравитационное притяжение планет выровняется и, следовательно, приведет к более сильным орбитальным изменениям, чем в среднем.

Любая оценка общего периода более чем двух планет (т. е. через сколько времени они снова примерно выровняются по гелиоцентрической долготе?) очень сильно зависит от допустимого отклонения от идеального выравнивания.

Если период планеты$i$является$P_i$, а если допустимое отклонение во времени$b$(в тех же единицах, что и$P_i$), то суммарный период$P$из всех$n$планет примерно

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ поэтому уменьшение допустимого отклонения в 10 раз означает увеличение общего периода в 10 раз. $10^{n-1}$, что для 8 планет составляет 10 000 000. Таким образом, бессмысленно указывать общий период, если вы также не указываете допустимое отклонение. Когда допустимое отклонение снижается до 0 (для достижения «идеального выравнивания»), общий период увеличивается до бесконечности. Это соответствует утверждениям нескольких комментаторов об отсутствии общего периода, поскольку периоды несоизмеримы.

Для периодов планет, перечисленных харогастоном,$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$когда$P_i$измеряются в юлианских годах по 365,25 дней в каждом, поэтому общий период в годах составляет приблизительно

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ если $b$также измеряется годами. Если периоды округлены до ближайшего дня, то $b \approx 0.00274$лет и $P \approx 1.2\times10^{24}$годы. Если периоды аппроксимированы с точностью до 0,01 дня, то $b \approx 2.74\times10^{-5}$и $P \approx 1.2\times10^{38}$годы.

Вывод приведенной выше формулы выглядит следующим образом:

Аппроксимируйте периоды планет кратными базовой единице.$b$:$P_i \approx p_i b$куда$p_i$является целым числом. Тогда общий период не больше, чем произведение всех$p_i$. Этот продукт по-прежнему измеряется в единицах$b$; мы должны умножить на$b$чтобы вернуться к исходным единицам. Таким образом, общий период составляет примерно

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

Приведенный выше вывод не учитывает, что$p_i$могут иметь общие факторы, так что выравнивание происходит раньше, чем$\prod_i p_i$предполагает. Однако независимо от того, любые два$p_i$имеют общие факторы сильно зависит от выбранного базисного периода$b$, так что это фактически случайная величина и не влияет на глобальную зависимость$P$на$b$.

Если вы выразите допустимое отклонение в терминах угла , а не времени , то я ожидаю, что вы получите ответы, которые зависят от размера допустимого отклонения так же сильно, как и для приведенной выше формулы.

См. http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html для графика$P$как функция$b$для всех планет, включая Плутон.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Вот оценка с допустимым отклонением по углу . Мы хотим, чтобы все планеты находились в пределах диапазона долготы ширины$δ$с центром на долготе первой планеты; долгота первой планеты свободна. Мы предполагаем, что все планеты движутся в одном направлении по компланарным круговым орбитам вокруг Солнца.

Поскольку периоды планет несоизмеримы, все комбинации долгот планет встречаются с одинаковой вероятностью. Вероятность$q_i$что в какой-то конкретный момент времени долгота планеты$i > 1$находится внутри сегмента ширины$δ$с центром на долготе планеты 1 равна

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

Вероятность$q$что планеты 2 через$n$находятся в одном и том же сегменте долготы с центром на планете 1, тогда

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Чтобы перевести эту вероятность в средний период, нам нужно оценить, сколько времени все планеты находятся на одной линии (с точностью до$δ$) каждый раз, когда они все выравниваются.

Первые две планеты, потерявшие взаимное выравнивание, являются самой быстрой и самой медленной из планет. Если их синодический период$P_*$, то они будут выровнены в течение интервала

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ затем некоторое время выходит из строя, прежде чем снова прийти в соответствие. Итак, каждое выравнивание всех планет длится примерно интервал $A$, и все эти выравнивания вместе покрывают часть $q$за все время. Если средний период, после которого происходит очередное выравнивание всех планет, равен $P$, то мы должны иметь $qP = A$, так $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Если планет всего две, то$P = P_*$невзирая на$δ$, что ожидаемо.

Если планет много, то самая быстрая планета намного быстрее самой медленной, поэтому тогда$P_*$почти равен периоду обращения самой быстрой планеты.

Здесь также оценка среднего времени между последовательными выравниваниями очень чувствительна к выбранному пределу отклонения (если вовлечено более двух планет), поэтому бессмысленно указывать такой комбинированный период, если вы также не упомянули, что отклонение было разрешено.

Также важно помнить, что (если планет больше двух) эти (почти) выравнивания всех из них не происходят через равные промежутки времени.

Теперь давайте подставим некоторые числа. Если вы хотите, чтобы все 8 планет были выровнены с точностью до 1 градуса долготы, то среднее время между двумя такими выравниваниями примерно равно$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$орбиты самой быстрой планеты. Для Солнечной системы Меркурий является самой быстрой планетой с периодом около 0,241 года, поэтому среднее время между двумя выравниваниями всех 8 планет с точностью до 1 градуса долготы составляет около$5×10^{14}$годы.

Если вас устраивает уже выравнивание с точностью до 10 градусов долготы, то средний период между двумя такими выравниваниями примерно равен$P = 36^6 = 2.2×10^9$орбиты Меркурия, что составляет около 500 миллионов лет.

Какого наилучшего выравнивания мы можем ожидать в ближайшие 1000 лет? 1000 лет — это примерно 4150 оборотов вокруг Меркурия, поэтому$(360°/δ)^6 \approx 4150$, так$δ \approx 90°$. В случайно выбранном интервале в 1000 лет происходит в среднем одно выравнивание всех 8 планет с точностью до сегмента 90°.

Есть гораздо более простой способ сделать это.

1) Найдите продолжительность солнечного года в земных днях.

2) умножьте продолжительность лет следующим образом: год Меркурия * год Венеры * год Земли * марсианский год * год Юпитера * год Сатурна * год Урана * год Нептуна

3) Разделите на 365, чтобы получить земные годы.

И у вас есть время, когда они снова выровняются в продольном направлении (это означает, что углы будут другими, но при виде сверху они образуют линию). Он не будет выравниваться с более высокой частотой, потому что некоторые из этих планет имеют десятичное число земных дней в году.

Технически верный способ найти период между выравниванием всех 8 планет состоит в том, чтобы найти LCM всех 8 их годичных длин.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Я понимаю, что это приблизительная оценка, так как они округлены до ближайшего целого числа, но это дает хорошее представление о количестве дней, в течение которых взял бы.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Вот сколько лет.