Коммутатор и порядок измерения

Извините, но коммутатор имеет прямое отношение к возможности одновременных измерений.

Наблюдаемый самосопряженный оператор может быть представлен в виде суммы самосопряженных ортогональных проекторов на собственные пространства.

$$\begin{equation} \hat{A}=\sum_k \lambda_k \mathcal{P}_{\lambda_k},\quad \hat{A}\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle=\lambda_k\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle,\quad \mathcal{P}_{\lambda_k}\mathcal{P}_{\lambda_m}=\delta_{km}\mathcal{P}_{\lambda_k},\quad \mathcal{P}_{\lambda_k}=\mathcal{P}_{\lambda_k}^\dagger \end{equation}$$ В частности, если все собственные пространства одномерны, мы можем написать $\mathcal{P}_{\lambda_k}=|\lambda_k\rangle\langle\lambda_k|$

Идеальное измерение в квантовой механике определяется следующим образом. Если вы измерите$A$и получить, что он равен$\lambda_k$тогда состояние изменяется проекцией на соответствующее собственное пространство,

$$\begin{equation} |\psi\rangle\mapsto \frac{1}{\sqrt{P_\psi(A=\lambda_k)}}\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle, \end{equation}$$ с вероятностью (в случае непрерывного спектра - плотностью вероятности), определяемой, $$\begin{equation} P_\psi(A=\lambda_k)=\langle\psi|\mathcal{P}_{\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle=\langle\psi|\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle \end{equation}$$ Когда вы применяете это к двум последовательным измерениям двух наблюдаемых $A$и $B$бывает, что вы не можете определить одновременные измерения, не указав порядок, в котором вы измеряете. Это потому, что в целом $$\begin{equation} \langle\psi|\mathcal{P}_{A=\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{B=\mu_m}^\dagger\mathcal{P}_{B=\mu_m}\mathcal{P}_{A=\lambda_k}|\psi\rangle\neq \langle\psi|\mathcal{P}_{B=\mu_m}^\dagger\mathcal{P}_{A=\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{A=\lambda_k}\mathcal{P}_{B=\mu_m}|\psi\rangle \end{equation}$$

Единственное исключение - когда наблюдаемые коммутируют. Это из-за одновременной диагонализуемости - гильбертово пространство оказывается прямой суммой собственных пространств$(\lambda_k,\mu_m)$где все состояния одновременно являются собственными состояниями$A$и$B$. Отсюда следует, что$[\mathcal{P}_{\lambda_k},\mathcal{P}_{\mu_m}]=0$и вы можете определить одновременные измерения$A$и$B$не заботясь об их порядке.

Я только что понял, почему применение оператора не является измерением. Позвольте мне обновить мой ответ соответственно.

Одна из аксиом квантовой механики состоит в том, что измерение переводит состояние в собственное состояние соответствующего оператора. Если два оператора коммутируют,$[A, B] = 0$, то можно найти базис, в котором оба оператора диагональны. Следовательно, состояния могут быть собственными состояниями обоих операторов одновременно.

Однако простое применение оператора к состоянию не коллапсирует волновую функцию. Итак, возьмите гармонический осциллятор с собственными состояниями$|n\rangle$В качестве примера. Мой оператор$\hat n$, оператор числа занятий. Когда я беру состояние, которое не является собственным состоянием, например$|\psi\rangle = |1\rangle + |2\rangle$, применение оператора даст мне следующее:

$$\hat n |\psi\rangle = \hat n|1\rangle + \hat n|2\rangle = |1\rangle + 2 |2\rangle \,.$$ Это не пропорционально ни исходному состоянию, ни чисто собственному состоянию $\hat n$. Если бы нужно было провести реальное измерение, то по аксиомам квантовой механики оно должно было бы быть чистым собственным состоянием $\hat n$. У нас был бы 50% шанс, что мы $n = 1$или $n = 2$вне измерения. Тогда система будет либо в $|1\rangle$или $|2\rangle$но уже не линейная комбинация.

Следовательно, простое применение эрмитова оператора, являющегося наблюдаемой, не является измерением. Также необходим коллапс волновой функции в чистое собственное состояние оператора. И это то, чего не хватает при применении коммутатора к состоянию.