Как некоммутативность приводит к неопределенности?

В этом вопросе есть изрядное количество фоновой математики, так что это будет некоторое время, прежде чем изюминка.

В квантовой механике мы не работаем с числами, чтобы представить состояние системы. Вместо этого мы используем векторы . В целях простого введения вы можете думать о векторе как о списке из нескольких чисел. Следовательно, само число является вектором, если мы допустим, что длина списка равна единице. Если длина списка равна двум, то$(.6, .8)$является примером вектора.

Операторы — это не такие вещи, как плюс, минус, умножение, деление . Вместо этого они являются функциями; они принимают один вектор и выдают другой вектор. Умножение не оператор, а умножение на два. Оператор действует на вектор. Например, если оператор «умножить на два» действует на вектор$(.6, .8)$, мы получаем$(1.2, 1.6)$.

Коммутативность — это свойство двух операторов, рассматриваемых вместе. Мы не можем сказать «оператор$A$является некоммутативным», потому что мы ни с чем его не сравниваем. Вместо этого мы можем сказать «оператор$A$и оператор$B$не коммутируйте». Это означает, что порядок их применения имеет значение.

Например, пусть оператор$A$быть "переключить два номера в списке" и оператор$B$быть "вычесть первое из второго". Чтобы проверить, коммутируют ли эти операторы, возьмем общий вектор$(a,b)$и применять операторы в разном порядке.

В качестве примера записи, если мы применим оператор$A$к$(a,b)$, мы получаем$(b,a)$. Это можно написать$A(a,b) = (b,a)$.

$$BA(a,b) = (b,a-b)$$

$$AB(a,b) = (b-a,a)$$

Когда мы применяем операторы в другом порядке, мы получаем другой результат. Следовательно, они не коммутируют. Коммутатор операторов определяется равенством

$$\textrm{commutator}(A,B) = [A,B] = AB - BA$$

Это новый оператор. Его выход для данного входного вектора определяется путем взятия входного вектора, действующего на него с помощью$B$, затем действуя на результат с помощью$A$, затем возвращаемся к исходному вектору и делаем то же самое в обратном порядке, затем вычитаем второй результат из первого. Если мы применим этот составной оператор (а именно: коммутатор) к$(a,b)$, получаем (вычитанием из двух предыдущих результатов)

$$(AB - BA)(a,b) = (-a,b)$$

Таким образом, коммутатор$A$а также$B$— это оператор, который умножает первую запись на минус единицу.

Собственный вектор оператора — это вектор, который не изменяется при воздействии на него этого оператора, за исключением того, что вектор может быть умножен на константу. Все является собственным вектором оператора «умножить на два». Собственные векторы оператора переключения$A$находятся$\alpha(1,1)$а также$\beta(1,-1)$, с$\alpha$а также$\beta$любые числа. За$(1,1)$, переключение записей ничего не делает, поэтому вектор не меняется. За$(1,-1)$, переключение записей умножается на минус единицу. С другой стороны, если мы поменяем записи в$(.6,.8)$получить$(.8,.6)$, новый вектор и старый не кратны друг другу, поэтому это не собственный вектор. Число, на которое умножается собственный вектор под действием оператора, называется его собственным значением. Собственное значение$(1,-1)$является$-1$, по крайней мере, когда мы говорим об операторе переключения.

В квантовой механике существует неопределенность для состояния, которое не является собственным вектором, и определенность для состояния, которое является собственным вектором. Собственное значение является результатом физического измерения оператора. Например, если оператор энергии действует на состояние (вектор) без неопределенности в энергии, мы должны найти, что это состояние является собственным вектором и что его собственное значение является энергией состояния. С другой стороны, если мы производим измерение энергии, когда система не находится в состоянии собственного вектора, мы можем получить разные возможные результаты, и невозможно предсказать, какой именно. Мы получим собственное значение, но это собственное значение какого-то другого состояния, поскольку наше состояние не является собственным вектором и даже не имеет собственного значения. Какое собственное значение мы получим, зависит от случая, хотя вероятности можно рассчитать.

Принцип неопределенности грубо утверждает, что некоммутирующие операторы не могут одновременно иметь нулевую неопределенность, потому что не может быть вектора, который был бы собственным вектором обоих операторов. (На самом деле, вскоре мы увидим, что это не совсем верно, но суть понятна. Действительно, операторы, коммутаторы которых имеют нульмерное нулевое пространство , не могут иметь одновременный собственный вектор.)

Единственный собственный вектор оператора вычитания$B$является$\gamma(0,1)$. При этом единственные собственные векторы оператора переключения$A$находятся$\alpha(1,1)$а также$\beta(1,-1)$. Не существует векторов, являющихся собственными векторами обоих$A$а также$B$в то же время (кроме тривиального$(0,0)$), так что если$A$а также$B$представляли собой физические наблюдаемые, мы не могли быть уверены ни в том, ни в другом.$A$а также$B$в то же время. ($A$а также$B$на самом деле не являются физическими наблюдаемыми в QM, я просто выбрал их как простые примеры.)

Мы хотели бы видеть, что это работает в целом — каждый раз, когда два оператора не коммутируют (с некоторыми ограничениями), у них нет одновременных собственных векторов. Мы можем доказать это от противного.

Предполагать$(a,b)$является собственным вектором$A$а также$B$. затем$A(a,b) = \lambda_a(a,b)$, с$\lambda_a$собственное значение. Аналогичное уравнение справедливо для$B$.

$$AB(a,b) = \lambda_a\lambda_b(a,b)$$

$$BA(a,b) = \lambda_b\lambda_a(a,b)$$

Потому что$\lambda_a$а также$\lambda_b$это просто числа, которые перемножаются, они коммутируют, и два значения совпадают. Таким образом

$$(AB-BA)(a,b) = (0,0)$$

Таким образом, коммутатор$A$а также$B$дает ноль, когда действует на их одновременный собственный вектор. Однако многие коммутаторы не могут дать ноль, когда действуют на ненулевой вектор. (Вот что значит иметь нульмерное нулевое пространство, упомянутое ранее.) Например, наши операторы переключения и вычитания имели коммутатор, который просто умножал первое число на минус единицу. Такой коммутатор не может дать ноль, когда он действует на что-то, что уже не равно нулю, поэтому наш пример$A$а также$B$не может иметь одновременный собственный вектор, поэтому они не могут быть уверены одновременно, поэтому для них существует «принцип неопределенности».

Если бы коммутатор был нулевым оператором, который обращает все в нуль, тогда проблемы не было бы.$(a,b)$может быть чем угодно и при этом удовлетворять приведенному выше уравнению. Если бы коммутатор был чем-то, что превращает некоторые векторы в нулевой вектор, эти векторы были бы кандидатами на состояния с нулевой неопределенностью, но я не могу вспомнить ни одного примера такой ситуации в реальной физике.

В квантовой механике самый известный пример принципа неопределенности относится к операторам положения и импульса. Их коммутатором является тождество — оператор, ничего не делающий с состояниями. (На самом деле это тождество раз$i \hbar$.) Это явно ничего не может превратить в ноль, поэтому положение и импульс не могут быть одновременно точными. Однако, поскольку их коммутатор умножается на$\hbar$, очень малое число по сравнению с повседневными вещами, коммутатор можно считать почти нулевым для больших, энергичных объектов. Следовательно, положение и импульс могут быть почти определенными для повседневных вещей.

С другой стороны, операторы углового момента и энергии коммутируют, поэтому оба они могут быть определенными.

Наиболее математически доступными некоммутирующими операторами являются спиновые операторы, представленные спиновыми матрицами Паули . Они имеют дело с векторами только с двумя элементами. Они немного сложнее, чем$A$а также$B$операторы, которые я описал, но для их изучения не требуется полного курса математики квантовой механики.

На самом деле, принцип неопределенности говорит больше, чем я написал здесь — я опустил части для простоты. Неопределенность состояния может быть определена количественно через стандартное отклонение распределения вероятностей для различных собственных значений. Принцип полной неопределенности обычно формулируется

$$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}\mid \langle[A,B]\rangle \mid$$

куда$\Delta A$неопределенность результата измерения наблюдаемой, связанная с оператором$A$а скобки указывают на нахождение ожидаемого значения . Если вам нужны подробности по этому поводу, я некоторое время назад написал несколько заметок, доступ к которым вы можете найти здесь .

Простым примером некоммутативности являются вращения в 3D, ср. фигура.

( Источник изображения: Бенджамин Кроуэлл, Общая теория относительности, стр. 256. )

Физически вращения вокруг$x$- и$y$-ось генерируются операторами углового момента$\hat{L}_x$а также$\hat{L}_y$соответственно, которые не коммутируют.

Из математических выражений для$\hat{L}_x$а также$\hat{L}_y$, вы можете продолжить математический вывод , с которым вы уже связались, и вывести соответствующее соотношение неопределенностей.

Наконец, позвольте мне упомянуть, что вычитание и деление являются примерами бинарных операций , в то время как, для начала, операторы в квантовой механике имеют только один вход, это так называемые унарные операции.

Уважаемый vonjd, вы просто хотите взглянуть на доказательство «принципа неопределенности», а именно на неравенство, в котором неопределенности находятся в левой части, а коммутатор — в правой, например, при

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#Mathematical_derivations

Ваш комментарий о том, что «вычитание и деление» являются примерами некоммутирующих операторов, не означает, что вы действительно поймете что-либо выше. В квантовой механике мы всегда говорим о линейных операторах в гильбертовом пространстве. Даже некоммутирующие операторы должны быть линейными операторами в гильбертовом пространстве, например, положение, импульс, угловой момент или другие наблюдаемые. Между ними нет «деления» и даже «вычитания».

Когда я впервые узнал о коллапсе волновой функции, я был удивлен идеей, что волновая функция просто станет собственным состоянием наблюдаемой — потеряв все остальные компоненты вектора состояния. Ну, это не так плохо, как вы могли бы подумать, потому что гильбертово пространство действительно велико.

Но если два оператора не имеют общего собственного базиса , то есть если они не коммутируют, вы «теряете информацию» об одной наблюдаемой при измерении другой. Именно это кодифицирует принцип неопределенности.