Является ли отношение коммутации отношением эквивалентности?

Коммутация не является отношением эквивалентности. Все компоненты углового момента коммутируют с$J^2$но они не коммутируют друг с другом.

Как найти полный набор взаимно коммутирующих наблюдаемых — сложная проблема, и я не думаю, что вы сможете дать алгоритмический ответ. Очень многое зависит от конкретной проблемы. Наблюдаемая, которая коммутирует с гамильтонианом, сохраняется, это может быть хорошей отправной точкой. Например, угловой момент сохраняется, когда гамильтониан осесимметричен.

Нет! Приведу контрпример:

Рассмотрим эрмитовы операторы$\mathsf{1}$(тождественный оператор),$p$(импульс) и$x$(позиция) в 1D.

Теперь тривиальные коммутационные соотношения$[\mathsf{1},x]=0$и$[\mathsf{1},p]=0$не подразумевает$[x,p]=0$так как правильное отношение$[x,p]=\mathrm i\hbar\neq 0$.

Как все указывают, коммутация не является сокращением для эквивалентности, поскольку, учитывая ваши отношения, тождество Якоби , [A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A] ] = 0 диктует, что когда первые два члена равны нулю, третий тоже должен, так что B должен коммутировать с [C, A], не обращаясь в нуль, как неоднократно отмечалось.

Тем не менее, коммутаторы алгебры Ли параметризуют сопряженность, т. е.$~A^{-1} B A - B= A^{-1} [ B,A]$, поэтому наблюдаемая коммутация со всем сводится к своему собственному классу сопряженности.

Коммутация становится транзитивной и, следовательно, отношением эквивалентности (рефлексивное и симметричное тривиальны), когда вы накладываете дополнительное условие: невырожденность .

Если$A$,$B$,$C$являются эрмитовыми операторами, и каждый из них имеет только уникальные собственные значения, то$AB\! =\! BA\, \cap\, BC\! =\! CB$подразумевает$AC = CA$.

Доказательство: для невырожденного оператора собственный базис определен корректно, поэтому, если$A$и$B$совместно использовать собственный базис$E^{AB} = \{|\Psi^{AB}_i\rangle\}$(как это делают коммутирующие операторы), и$B$и$C$делиться$E^{BC} = \{|\Psi^{BC}_j\rangle\}$, затем$E^{AB} = E^{BC}$, и это общий собственный базис$A$и$C$. Поэтому,$A$и$C$добираться.

---

Просто во избежание путаницы: конечно, это не означает, что система вырожденных операторов никогда не коммутирует; например, рассмотрим проекторы на 3 ортогональных состояния $|\Phi_A\rangle$, $|\Phi_B\rangle$, $|\Phi_C\rangle$, т.е.

$$A |\psi\rangle = |\Phi_A\rangle \langle\Phi_A| \psi \rangle$$ и т.д.. Поскольку состояния ортогональны, $AB = BA = AC = CA = BC = CB = 0$, поэтому операторы тривиально коммутируют, хотя все они имеют вырожденное собственное значение 0.