Контрактные индексы

Кто-нибудь знает, как перейти от (1) к (2) в системе

(1) грамм , р мю ν + грамм о ν Г о р мю + грамм мю о Г р о ν − 1 2 ( Г р о о + Г о р о ) грамм мю ν знак равно 0 , (2) грамм , ν [ мю ν ] + 1 2 ( Г р ν р − Г ν р р ) грамм ( мю ν ) знак равно 0 ,

свернув уравнение (1) один раз относительно ( мю , р ), то относительно ( ν , р )?

Где Г не симметрична относительно нижних индексов.

Моя попытка решить эту проблему до сих пор такова: Ну, при сжатии относительно μ и ρ я получаю:

− 1 2 грамм р ν Г а р а − 1 2 грамм р ν Г р а а + грамм а ν Г а р р + грамм р а Г р а ν + грамм , р р ν знак равно 0
а при сокращении по nu и ρ получаю:
− 1 2 грамм мю р Г а р а − 1 2 грамм мю р Г р а а + грамм а р Г а р мю + грамм мю а Г р а р + грамм , р мю р знак равно 0
при вычитании этих двух уравнений я получаю:
1 2 грамм мю р Г а р а − 1 2 грамм р ν Г а р а + 1 2 грамм мю р Г р а а − 1 2 грамм р ν Г р а а + грамм а ν Г а р р − грамм а р Г а р мю − грамм мю а Г р а р + грамм р а Г р а ν − грамм , р мю р + грамм , р р ν знак равно 0
Я не понимаю, как это равно уравнению (2)

Я думаю, что это правильный вопрос для практикующих физиков. @OP: Объясните немного больше о том, что вы пробовали. В общем, мы не рекомендуем людям выдумывать аппаратные решения из этого phy.SE.
ну, это не домашнее задание, а просто уравнение, которое я нашел в книге Шредингера «Структура пространства-времени».
Я склонен согласиться с Шивой. Посмотрите на свойства симметрии различных символов, когда вы вычитаете две сокращенные версии уравнения (1).
Привет пользователь 38032. Добро пожаловать в Phys.SE. Если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег домашнего задания , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашним заданиям.
Послушайте, я уже сказал, что это не домашнее задание.
Эти уравнения есть в книге Шредингера «Структура пространства-времени», стр. 110, и я просто хотел узнать, как перейти от (1) к (2), поэтому, если вы не знаете ответа, перестаньте оставлять эти бесполезные комментарии об этом существе. проблема с домашним заданием.
Я не уверен в первом аспекте политики вопросов, подобных домашней работе, — в том, что вопрос достаточно концептуален, — но мне кажется, что даже если этот вопрос действительно пройдет этот тест, без какой-либо попытки показать работу себя, этот вопрос, скорее всего, останется в ожидании и в конечном итоге будет закрыт.
Политика вопросов, подобных домашнему заданию, применяется не потому, что вопросы были назначены в качестве домашнего задания, а потому, что основная ценность этого вопроса, по-видимому, является педагогической (то есть это такой тип вопросов, который будет задан ученику, потому что они учат определенному навыку или пункту). ).
@Dmckee хорошие ответы на такие вопросы чрезвычайно ценны для людей, которые хотят изучить предмет на техническом уровне. ИМХО, это действительный технический вопрос, а замкнутый круг закрытых вопросов - это совсем нехорошо. Один из них должен быть открытым и позволять получить хороший ответ, который наверняка оценят не только люди, проголосовавшие за вопрос.
Обратите внимание, что (i) два соответствующих уравнения. (12.14) и (12.15) в книге Э. Шредингера «Структура пространства-времени» отмечены звездочками на Г λ мю ν символы. Это определено в уравнении. (12.12). (ii) Кроме того, метрические тензоры набраны готическим шрифтом, что относится к неявному множителю квадратного корня. (iii) И, наконец, метрический тензор и Г λ мю ν символы.

Ответы (1)

Попытка получения

грамм , ν [ мю ν ] + 1 2 ( Г р ν р − Г ν р р ) грамм ( мю ν ) знак равно 0 ,
был почти прав! Единственное, чего не хватало, так это осторожности с переименованием индексов. Мы будем действовать в три основных этапа.

1.) Таким образом, при сокращении уравнения. (1) в отношении мю а также р , получаем тождество:

− 1 2 грамм р ν Г а р а − 1 2 грамм р ν Г р а а + грамм а ν Г а р р + грамм р а Г р а ν + грамм , р р ν знак равно 0.

Теперь, переобозначив фиктивные индексы в 3-м члене как а ↔ р , получаем, что 3-й член можно записать в виде грамм р ν Г р а а . Более того, мы видим, что теперь 2-й и 3-й члены можно упростить: сложение их вместе дает + 1 2 грамм р ν Г р а а . По окончательному изменению метки индекса ν → мю , получаем, что:

− 1 2 грамм р мю Г а р а + 1 2 грамм р мю Г р а а + грамм р а Г р а мю + грамм , р р мю знак равно 0. ( А )

2.) При заключении договора Eq. (1) в отношении ν а также р , получаем тождество:

− 1 2 грамм мю р Г а р а − 1 2 грамм мю р Г р а а + грамм а р Г а р мю + грамм мю а Г р а р + грамм , р мю р знак равно 0.

Давайте также переименуем фиктивные индексы в 4-м члене как а ↔ р . Теперь мы можем видеть, что 4-й член просто грамм мю р Г а р а , а значит, 1-й и 4-й члены вместе дают 1 2 грамм мю р Г а р а . Кроме того, выполним также а ↔ р "перемаркировка фиктивного индекса", что дает грамм р а Г р а мю на 3-й срок. После этих манипуляций наша личность читается как

1 2 грамм мю р Г а р а − 1 2 грамм мю р Г р а а + грамм р а Г р а мю + грамм , р мю р знак равно 0. ( Б )

3.) Беря теперь (В)-(А), получаем:

грамм , р мю р − грамм , р р мю + 1 2 ( грамм мю р + грамм мю р ) ( Г а р а − Г р а а ) знак равно 0 ,
который после а → р а также р → ν перемаркировка точно такая же, как и желаемое уравнение. (2).

Я не понимаю, почему вы переименовали ν → мю в вас первый шаг.
Вы не понимаете, почему я это сделал или почему мне разрешено это делать? Я отвечу обоим. 1) Почему я это сделал? Я вычислил (В) заранее и увидел, что после этого ν → мю перемаркировка я получаю Eq. (A), которое вычитается из (B), дает мне уравнение, которое вы хотели получить. Почему мне разрешено это делать? Без ν → мю перемаркировка я бы получил − 1 2 грамм р ν Г а р а + 1 2 грамм р ν Г р а а + грамм р а Г р а ν + грамм , р р ν знак равно 0 , с чем, я думаю, вы также согласны. В настоящее время ν может быть любым индексом, поэтому я просто выбираю ν знак равно мю .
Я не понимаю, почему тебе разрешено это делать. Вы говорите, что уравнение (2) справедливо только в том случае, если ν = μ?.
Нет! Уравнение (2) также справедливо, когда ν ≠ мю , вы должны отслеживать все перемаркировки, которые я делал. Давай помедленнее. Забудьте обо всех предыдущих уравнениях и ответьте на это: 1) Согласны ли вы с тем, что если − 1 2 грамм р ν Г а р а + 1 2 грамм р ν Г р а а + грамм р а Г р а ν + грамм , р р ν знак равно 0 выполняется для любого ν е { 0 , 1 , 2 , 3 } , то также − 1 2 грамм р мю Г а р а + 1 2 грамм р мю Г р а а + грамм р а Г р а мю + грамм , р р мю знак равно 0 выполняется для любого мю е { 0 , 1 , 2 , 3 } ? Это тот же набор уравнений.
@ user38032 Итак, подумайте над моим предыдущим вопросом. После того, как вы ответите, мы сделаем следующий шаг.
Да, я согласен. для обоих уравнений.
Здорово, что вы увидели предыдущий пункт! Теперь мы почти у цели. Итак, вы согласны с тем, что − 1 2 грамм р мю Г а р а + 1 2 грамм р мю Г р а а + грамм р а Г р а мю + грамм , р р мю знак равно 0 (держится для всех мю е { 0 , 1 , 2 , 3 } . Тогда мой следующий вопрос: согласны ли вы также с моим выводом в пункте (2) моего ответа, что 1 2 грамм мю р Г а р а − 1 2 грамм мю р Г р а а + грамм р а Г р а мю + грамм , р мю р знак равно 0 действует для всех мю е { 0 , 1 , 2 , 3 } ? Если да, вычтите два уравнения и дайте мне ответ.
Контрактные индексы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v