Уникальность аффинных связей

Стандартный способ получения коэффициентов метрически совместимой связи состоит в следующем. Во-первых, мы требуем, чтобы

$$\nabla_\mu g_{ab} = 0$$ для всех$\mu,a,b$. Подстановка коэффициентов связи дает нам, что $$\nabla_\mu g_{ab} = \partial_\mu g_{ab} - \Gamma^i_{a\mu} g_{ib} - \Gamma^i_{b\mu} g_{ai}=0$$ Затем мы переставляем индексы, чтобы получить два дополнительных уравнения: $$\nabla_b g_{\mu a} = \partial_b g_{\mu a} - \Gamma^i_{\mu b} g_{ia} - \Gamma^i_{ab} g_{\mu i}=0$$ $$\nabla_a g_{b\mu} = \partial_a g_{b\mu} - \Gamma^i_{ba} g_{i\mu} - \Gamma^i_{\mu a} g_{bi}=0$$

Для заданного выбора$(\mu,a,b)$, у нас здесь три уравнения с шестью неизвестными (коэффициентами связи). Тем не менее, мы можем двигаться вперед. Сложение второго и третьего уравнений вместе и вычитание первого дает

$$\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big) + 2\Gamma^i_{[a\mu]}g_{bi} + 2\Gamma^i_{[b\mu]}g_{ai} - 2\Gamma^i_{(ab)}g_{\mu i} = 0$$ где$\Gamma^i_{[ab]} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^i_{ab} - \Gamma^i_{ba}\right)$и$\Gamma^i_{(ab)} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^i_{ab} + \Gamma^i_{ba}\right)$.

Это можно изменить, чтобы получить (используя симметрию$g$)

$$\Gamma^i_{(ab)} = \frac{1}{2}g^{i\mu}\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big) + \Gamma^i_{[a\mu]} + \Gamma^i_{[b\mu]}$$

Это все, что можно получить, потребовав, чтобы соединение было метрически совместимым. Нам нужно больше входных данных, чтобы однозначно получить соединение. Если мы потребуем, чтобы связность была без кручения (т. е. симметричной по двум нижним индексам), то два члена связности справа равны нулю, а левая часть просто становится$\Gamma^\mu_{ab}$, и так

$$\Gamma^i_{ab} = \frac{1}{2}g^{i\mu}\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big)$$

однозначно определяет коэффициенты связи из метрики. Это связь Леви-Чивита. Любое другое совместимое с метрикой соединение может иметь кручение в том смысле, что соединение$\Gamma$можно написать

$$\Gamma^i_{jk} = \overline{\Gamma}^i_{jk} + K^i_{jk}$$

где$\overline{\Gamma}$является связь Леви-Чивиты и$K$— так называемый тензор искривления .