Ковариантные уравнения Максвелла, инвариантные относительно преобразования четности

Вы не правильно применяете преобразования. Ваше преображение,$P$, является линейной картой, которая превращает вектор в другой вектор. Хорошо,$F^{\mu\nu}$является тензором ранга (2,0), а не вектором (тензором ранга (1,0)). Все это становится намного яснее, если вы используете индексную нотацию, а не записываете матрицы. Я буду работать в декартовом базисе.

Итак, давайте обозначим ваш$P$с тензором ранга (1,1),$P^\mu_\nu$, такой, что для вектора$V^\mu=\left(V^0, V^1, V^2, V^3\right)^\mu$, эффект$P$было бы:

$V^\mu\to\bar{V}^\mu = P^\mu_\nu V^\nu = (V^0, -V^1, -V^2, -V^3)$

Теперь преобразование для электромагнитного тензора будет тогда:

$F^{\mu\nu}\to\bar{F}^{\mu\nu}=P^\mu_\eta P^\nu_\sigma F^{\eta\sigma}$

В этом случае, поскольку ваше преобразование простое, вы можете переписать это как матричное уравнение (в общем случае оно может работать не так безупречно):

$\bar{F}=P\cdot F \cdot P = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix}\right)$

Таким образом, электрическое поле преобразуется как полярный вектор, а магнитное как осевой. Как известно. Вам также нужно будет применить преобразование$J^\mu\to\bar{J}^\mu=P^\mu_\nu J^{\nu}$, и$\partial_\mu \to \bar{\partial}_\mu = \left(P^{-1}\right)^\nu_\mu \partial_\nu$(т.е. вам нужно применить обратные преобразования к ковариантным тензорам). Когда вы это сделаете, вы увидите, что уравнение для новых величин будет таким же, как и для старых, т.е.$\bar{\partial}_\mu \bar{F}^{\mu\nu}={4\pi}{c}\bar{J}^{\nu}$, поэтому уравнение не меняется (векторы и тензоры меняются)

Дополнение после комментария.

Я очень советую не использовать матричные обозначения в этих вычислениях, поэтому я перестану их использовать. Вот как вы работаете$\bar{F}^{\mu\nu}$:

$F^{0\{1,2,3\}}=\{-E_x, -E_y, -E_z\}$

$F^{12}=-B_z,\, F^{13}=B_y,\, F^{23}=-B_x$

Итак, используя$P^0_0=1, P^1_1=P^2_2=P^3_3=-1$, и ноль в противном случае:

$\bar{F}^{0i}=P^0_0 P^i_j F^{0j} = (1)(-1)F^{0i}$, так что электрическое поле получает минус

$\bar{F}^{ij}=P^i_s P^j_k F^{sk}=(-1)^2 F^{ij}$, значит магнитное поле не меняется

Что касается уравнения, член LHS выглядит как$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}\to\left(P^{-1}\right)^{\kappa}_\mu\partial_{\kappa}P^\mu_\sigma P^\nu_\rho F^{\sigma\rho}=\delta^\kappa_\sigma\partial_{\kappa} P^\nu_\rho F^{\sigma\rho}=P^\nu_\rho \partial_{\mu} F^{\mu\rho}$. Вы обнаружите, что RHS преобразуется таким же образом, поэтому эффект преобразования заключается в умножении всего уравнения на обратимый оператор.$P$. При этом уравнение не меняется.

Поскольку ток является вектором, он не инвариантен относительно четности. Следовательно, ни один из них не является законом Ампера.