Ковариантная форма уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени

Реальный мир не заботится о нашем выборе координат для описания природы. Уравнения Максвелла в векторной форме записываются относительно инерциальной системы отсчета как:

$$\begin{align} \vec\nabla\cdot\vec{E} &= 4\pi\rho \label{Diff I}\\ \vec\nabla\times\vec{B} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \label{Diff IV}\\ \vec\nabla\times\vec{E} &= -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} \label{Diff III}\\ \vec\nabla\cdot\vec{B} &= 0 \label{Diff II} \end{align}$$

И потенциалы:

$$\begin{align} \vec{E} &= -\frac1c \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec\nabla\phi\\ \vec{B} &= \vec\nabla\times\vec A \end{align}$$

Эти уравнения справедливы в любой инерциальной системе координат. Как насчет неинерционной рамы? Чтобы ответить на этот вопрос и применить уравнения Максвелла к ЛЮБОЙ системе отсчета, я думаю, полезно использовать тензорное исчисление. Так:

В специальной теории относительности мы пишем:

$$\begin{align} \partial_{\mu}F^{\mu\nu} &= \frac{4\pi}{c}j^{\nu} \tag{1}\\ \partial_{[\mu}F_{\alpha\beta]} &= 0\;. \tag{2} \end{align}$$

Но вот мои вопросы:

1. Эти уравнения написаны относительно метрики Минковского, то есть с декартовыми координатами для пространственных координат. Они ковариантны по отношению к преобразованиям Лоренца, но они недействительны в ЛЮБОЙ инерциальной системе координат. Если я выбираю цилиндрические или сферические координаты, я не могу их использовать. Как эти уравнения преобразуются в любой другой системе координат (инерциальной или нет)?

2. До ОТО, то есть в плоском пространстве-времени, почему бы нам не записать уравнения Максвелла в бескоординатной записи? Например, почему бы нам не использовать ковариантную производную и общую метрику для приведения уравнений в их наиболее общий вид, как мы это делаем в общей теории относительности?

Потому что в ОТО нам нужна их общая форма для учета кривизны пространства-времени, а здесь она также понадобится для учета любой инерциальной или неинерциальной системы координат в плоском пространстве-времени, а не только в декартовых координатах.