Ковариантная формулировка E&M

Кто-нибудь может объяснить мне, что означает «ковариантная формулировка электродинамики»? Что здесь означает ковариант?

Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца? В каком смысле? Инвариантность при изменении математической базы?

Относится ли это к ко- и контравариантным производным дифференциальной геометрии? Там слова ковариантный и контравариантный относятся к тому, как объекты трансформируются при общих преобразованиях координат.

@Qmechanic: используется слово «явно инвариантный». Означает ли это, что уравнения Максвелла просто преобразуются, как тензоры (относительно тензорных производных), или что форма уравнений остается неизменной после преобразования Лоренца? Согласно ответу Яна, требуется больше, чем просто «сохранение формы». Итак, я допускаю, что «явно инвариантный» означает совместимое поведение тензора И «сохранение формы». Это определение? Или второе требование является избыточным, поскольку оно выполняется автоматически, если уравнения ведут себя как тензоры?

Ответы (1)

Это означает, что теория выражается/обсуждается на языке тензорных полей, где тензоры - это величины, которые преобразуются между взаимно движущимися инерциальными системами отсчета согласно преобразованию Лоренца . Все дифференциальные уравнения выражаются в виде соотношений между тензорными полями и их производными. Например, уравнение

г п к г т "=" д Е к + д ϵ к я Дж в я Б Дж

который использует обозначение 3-векторов, не является ковариантным, потому что, хотя он имеет одинаковую форму во всех системах отсчета, вовлеченные величины не являются тензорами, которые преобразуются между движущимися системами отсчета в соответствии с преобразованием Лоренца. Они преобразуются как декартовы тензоры только между системами отсчета, которые покоятся друг относительно друга.

Ковариантная формулировка того же закона

г п мю г т "=" д Ф мю ν ты ν ,
используя компоненты 4-векторов п , ты и 4-тензор Ф . Это потому, что в другой системе отсчета уравнение имеет ту же форму и вовлеченные величины - п , ты , Ф - преобразовывать как тензоры по преобразованию Лоренца.

Привет, спасибо за ответ. Один вопрос о вашем аргументе, что г п к г т "=" д Е к + д ϵ к я Дж в я Б Дж не является ковариантным. Вы имеете в виду, что если я сделаю трафарет Лоренца Е к → Е к ′ , Б Дж → Б Дж ′ для всех вовлеченных величин, тогда это нарушило бы «форму» уравнения? Или я неправильно понял ваше объяснение?
Нет, вид уравнения тот же, но проблема в том, что тройка Е 1 , Е 2 , Е 3 не является 4-вектором, который можно было бы преобразовать стандартным образом как Е ′ к "=" Λ л к Е л . Правильная трансформация Е к ′ с не является простым преобразованием Лоренца на некоторой четверке чисел, но вместо этого нужно сначала сформировать тензор Ф мю ν который содержит Е к ′ s в одну строку, а затем преобразовать этот тензор согласно преобразованию Лоренца. Другими словами, преобразование Лоренца нельзя применить непосредственно к Е к 'песок Б Дж с.
Ковариантная формулировка E&M
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v