Критическая 2d модель Изинга

Критическая точка — это не то же самое, что фиксированная точка РГ. Позволять$\mathcal{T}$обозначают «теоретическое пространство», означающее набор всех возможных вероятностных мер для полей с действительными значениями на фиксированной единичной решетке.$\mathbb{Z}^2$. Блок-спин или децимация и т. Д. Дают вам карту$R:\mathcal{T}\rightarrow \mathcal{T}$, а именно преобразование ренормализационной группы. Картина, которую следует иметь в виду, заключается в том, что есть особая точка$V_{\ast}\in \mathcal{T}$такой, что$R(V_{\ast})=V_{\ast}$. Это фиксированная точка РГ. Оно гиперболично и имеет устойчивое многообразие$W^s$(критическая поверхность), а также неустойчивое многообразие$W^u$. Сейчас$\beta\mapsto {\rm Ising}(\beta)$это особая кривая с одним параметром в большом пространстве$\mathcal{T}$. Это кривая, состоящая из чистых гамильтонианов Изинга NN без дополнительных членов. Критическая точка – это пересечение этой кривой с$W^s$и ему соответствует особое значение$\beta_c$обратной температуры. Для получения дополнительной информации о различных способах просмотра КТП: набор корреляционных функций, вероятностная мера в пространстве распределений, точка в$\mathcal{T}$или полная орбита$R$в$\mathcal{T}$см. конец раздела 4 моей небольшой статьи QFT, RG и все такое, для математиков, на одиннадцати страницах .

Резюме:

1. «Определяющее свойство теории в критической точке состоит в том, что она инвариантна относительно РГ-потоков» неверно, потому что$R({\rm Ising}(\beta_c))\neq {\rm Ising}(\beta_c)$. В самом деле, по определению устойчивого многообразия$\lim_{n\rightarrow \infty} R^n({\rm Ising}(\beta_c))=V_{\ast}$, истинная неподвижная точка.
2. «Любая критическая теория обязательно будет включать дополнительные высокоспиновые связи». тоже неправильно, потому что${\rm Ising}(\beta_c)$является NN и также является критической теорией. Множество критических теорий — это все стабильное многообразие$W^s$.

Это большой вопрос. На страницах 15 и 16 этих заметок утверждается, что ни один нетривиальный спиновый гамильтониан никогда не может быть фиксированной точкой при прореживании спина, но я не понимаю, почему их аргумент не работает в одномерном случае. Заметки заканчиваются загадочным комментарием.

есть много РГ. Цель состоит не в том, чтобы увидеть, сколько из них не работает, а в том, чтобы найти тот, который работает.

Я подозреваю, что при многократном прореживании спина гамильтониан двумерной модели Изинга в конечном итоге сходится к чрезвычайно сложному гамильтониану с фиксированной точкой с$n$-спиновые муфты для всех даже$n$(странный-$n$связи нарушили бы гамильтониан$\mathbb{Z}_2$симметрия$\sigma_i \to -\sigma_i$), с коэффициентами связи, которые экспоненциально затухают с$n$. Хотя этот гамильтониан с фиксированной точкой, очевидно, намного сложнее, чем исходный гамильтониан, он будет принадлежать к тому же классу универсальности Изинга и, следовательно, будет иметь ту же физику дальних расстояний. Поскольку конкретный выбор схемы перенормировки спина чувствителен к ультрафиолетовому излучению, результирующий гамильтониан с фиксированной точкой будет зависеть от вашего выбора схемы РГ, но каждая возможная схема РГ должна давать гамильтониан с фиксированной точкой в ​​том же классе универсальности, что и имеет значение для физики низких энергий.

Хотя в этой теме много технических деталей, то, что здесь происходит, можно объяснить очень простыми словами. Предположим, вы нашли точную схему РГ. Затем, начиная с критической точки модели Изинга, вы окажетесь в критической фиксированной точке предела масштабирования. Но мы знаем, что эту теорию неподвижной точки можно также описать как теорию поля (модель свободного фермиона в 2d-случае). Но как вы можете получить теорию поля, обладающую такими симметриями, как инвариантность относительно перемещений и вращений, если все, что вы делаете, — это применяете блочные спиновые преобразования?

Ответ заключается в том, что эти симметрии в конечном итоге будут реализованы всеми этими более высокими членами спиновой связи. По мере того, как вы приближаетесь к критической точке, огромное количество взаимосвязей в вашей решетке будет все лучше и лучше подражать условиям теории поля. Вы можете описать подход к критической фиксированной точке также с точки зрения теории поля, добавив в модель фиксированной точки так называемые нерелевантные операторы, которые обращаются к нулю. Тот факт, что поток ренормгруппы начался с решетчатой ​​модели, означает, что до того, как вы достигнете предела бесконечного масштабирования, будут остатки нарушения трансляционной симметрии, которые еще должны свести к нулю. Наличие таких нерелевантных операторов влияет на критическое поведение модели, показатели степени поправки к поведению масштабирования зависят от масштабной размерности нерелевантных операторов.