Анизотропия длины корреляции в двумерной модели Изинга

Question

Анизотропия длины корреляции в двумерной модели Изинга

Физика
Изинг-модель
решетчатая модель
корреляционные функции
статистическая механика

Гек

В модели Изинга двухспиновая корреляционная функция имеет вид

С (\vec{р}) "=" ⟨ о_{{\vec{р}}_{0} + \vec{р}} о_{{\vec{р}}_{0}} ⟩ - ⟨ о_{{\vec{р}}_{0} + \vec{р}} ⟩ ⟨ о_{{\vec{р}}_{0}} ⟩ .

$C(\vec{r}) = \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\sigma_{\vec{r}_0}\rangle - \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\rangle \langle \sigma_{\vec{r}_0} \rangle.$ Это количество не зависит от

{\vec{r}}_{0}

$\vec{r}_0$ в силу трансляционной инвариантности. Когда

r = | \vec{r} |

$r = |\vec{r}|$ велика по сравнению с шагом решетки, мы ожидаем следующий приближенный вид

С (\vec{р}) \sim опыт (- р / ξ),

$C(\vec{r}) \sim \exp(-r/\xi),$ где

ξ

$\xi$ корреляционная длина.

Различные направления на решетке не эквивалентны. Например, в модели Изинга на квадратной решетке есть два направления, скажем, вертикальное и горизонтальное, по которым взаимодействуют соседние спины. Я не вижу оснований считать другие направления эквивалентными этим двум. В анизотропной модели Изинга вертикальное и горизонтальное направления также не эквивалентны.

Тогда корреляционная длина $\xi$ должно зависеть от направления $\vec{r}$ . Известен ли аналитический вид этой зависимости хотя бы для квадратной решетки? Модель Изинга, пожалуй, наиболее изученная модель статистической физики, но соответствующих формул мне найти не удалось. Так что любые ссылки будут оценены.

PS Я знаю, что в пределе масштабирования модель Изинга становится изотропной. Вопрос выше касается систем, достаточно далеких от критической точки.

Ответы (2)

Анизотропия длины корреляции в двумерной модели Изинга

Иван Веленик · Answer 1

Корреляционная длина двумерной модели Изинга вычислена явно. Вы можете найти это выражение в известной книге Маккоя и Ву . Вот график обратной длины корреляции (т.е. $1/\xi$ ) при различных температурах, взятых из этого недавнего обзора :

Это только для того, чтобы показать зависимость от направления, так как радиальный масштаб не одинаков для всех изображений. Температура уменьшается слева направо (видна изотропия, близкая к критической температуре) от близкой к $\infty$ до температуры, близкой к критической. Ниже критической температуры поведение точно такое же, поскольку самодвойственность модели подразумевает, что для любого $T<T_c$ , $\xi(T) = \xi(T^*)/2$ где двойная температура $T^*=T^*(T)$ удовлетворяет $T^*>T_c$ .

Большое спасибо! Решена ли эта проблема для анизотропной модели Изинга на треугольной решетке?
@Gec: Стивенсон опубликовал серию статей в 1960-х и начале 1970-х годов о корреляциях модели Изинга на треугольной решетке. Четвертый из серии может охватывать то, что вы хотите: спиновые корреляции модели Изинга на треугольной решетке. IV. Анизотропные ферромагнитные и антиферромагнитные решетки , J. Stephenson, Journal of Mathematical Physics 11, 420 (1970).
(Примечание: я не читал статьи Стивенсона, поэтому могу ошибаться. В любом случае, глядя на то, какие более свежие статьи цитируют их, вы можете найти то, что вам нужно...)
Я встречался с бумагами Стефенсона, но не изучал их досконально. Еще раз спасибо. Мой вопрос возник из того, что я нашел: дифференциальное уравнение для корреляционной длины как функции угла в случае так называемого беспорядочного решения , открытого Стефенсоном. Теперь меня интересует возможность написать такое уравнение в общем случае.

Райан Торнгрен · Answer 2

Вы можете изучить эту проблему вблизи фиксированной точки (два правых изображения в ответе Ивана), найдя наиболее подходящий оператор с правильным зарядом симметрии.

Например, для прямоугольной решетки мы будем искать операторы спина 2, треугольной решетки — спина 3 и квадратной решетки — спина 4.

Поскольку эти более высокие спиновые деформации в модели Изинга исходят от операторов-потомков, можно ожидать примерно порядка $(T-T_c)$ разделение по анизотропии между каждым случаем.

Однако я не знаю, как объяснить другие интересные особенности, например, почему корреляционная длина имеет излом при низких температурах. Это круто!

У вас есть только острие в пределе $T\to 0$ или $T\to\infty$ (на самом деле высоко- и низкотемпературные корреляционные длины пропорциональны благодаря самодуальности). Строго известно, что при положительных и конечных температурах корреляционная длина является аналитической по направлению (фактически в любом измерении). При очень высоких и очень низких температурах поведение корреляционной длины можно понять с помощью пертурбативных методов (например, кластерного расширения).

Анизотропия длины корреляции в двумерной модели Изинга

Гек

Ответы (2)

Иван Веленик

Гек

Иван Веленик

Иван Веленик

Гек

Райан Торнгрен

Иван Веленик

Критическая 2d модель Изинга

Как понять двухточечную корреляционную функцию в импульсном пространстве?

Что происходит со свободной энергией двумерной модели Изинга с вихрями?

Теория среднего поля: вариационный подход против самосогласования

Почему спиновые корреляционные функции в моделях Изинга экспоненциально затухают ниже критической температуры?

Континуальная теория поля для модели Изинга

Теория среднего поля и пространственные корреляции в статистической физике

Существует ли перенормировка для двумерного измерения, дающая точную критическую связь, и почему?

Интерпретация одномерного поперечного поля модели Изинга вакуумного состояния на спиновом языке

Какова информационная геометрия одномерной модели Изинга для сложного магнитного поля?