Критические показатели и масштабные размерности из теории РГ

В большинстве книг (например, у Карди) приводятся отношения между критическими показателями и размерами масштабирования, например.

α "=" 2 − г / у т , ν "=" 1 / у т , β "=" г − у час у т
и так далее. Здесь у т и у час масштабные измерения масштабируемых переменных ты т и ты час связанный с (пониженной) температурой т и поле час . Это всегда обсуждается в контексте модели Изинга. я смущен тем, что у т и у час есть вообще? В общем, у вас есть размеры масштабирования у 1 , у 2 … у н для масштабируемых полей ты 1 , ты 2 , … ты н , где непонятно что у т и у час являются. В случаях, когда РГ является «диагональной», т и час сами по себе являются масштабируемыми переменными, проблемы не существует, но это не общая ситуация.

Например, уравнение ренормгруппы модели XY в г "=" 2 + ϵ является

г Т г л "=" − ϵ Т + 4 π 3 у 2 , г у г л "=" ( 2 − π Т ) у ,
где Т это температура и у связано с летучестью вихря. Существует конечная фиксированная точка температуры для Т ⋆ "=" π / 2 . Представьте, что мы хотим вычислить ν и α в этой нетривиальной неподвижной точке. Линеаризуя вышеизложенное в фиксированной точке, мы получаем два измерения у 1 и у 2 для двух масштабирующих переменных ты 1 и ты 2 . Обе эти переменные являются линейными комбинациями Т и у . Как я могу узнать, какое масштабное измерение/собственное значение соответствует тепловому собственному значению у т ? Каковы значения α и ν ?

Ответы (1)

ОП прав, что муфты г 1 , г 2 ,... параметризующие теорию поля, в общем случае являются комбинациями скейлингового поля неподвижных точек РГ ты 1 , ты 2 ,...

В модели Изинга два наиболее важных поля масштабирования ты 1 и ты 2 может быть связано с температурой т и магнитное поле час . Однако ОП ошибается, говоря, что ты 1 и ты 2 диагональны (это означает, что ты 1 "=" т , ты 2 "=" час ). В самом деле, вообще говоря, каждая связь, соблюдающая симметрию Изинга, будет иметь проекцию на ты 1 , тогда как все связи, нарушающие симметрию, будут иметь компонент на ты 2 . Это означает, например, что в принципе можно управлять переходом, не изменяя т в голом действии, а путем изменения взаимодействия λ . В этом случае длина корреляции будет расходиться как | λ − λ с | − 1 / у т . Однако это обычно не то, что происходит с микроскопическими моделями, и поэтому не обсуждается в большинстве книг.

Путаница возникает из-за того, что обычно работают в теории возмущений, где сохраняется очень мало констант связи, что подразумевает проекцию всего потока на очень маленькое подпространство истинного пространства всех констант связи.

Относительно уравнения течения модели XY, близкого к двумерному, следует заметить, что здесь мы имеем только одно релевантное поле (которое естественно связывается с температурой, так как это экспериментально настраиваемый параметр), соответствующее ты 1 поскольку он сохраняет симметрию XY у т таким образом, значение положительного собственного значения, связанного с отклонениями от фиксированной точки (затем вычисляется ν и а л п час а из уравнений, данных ОП). Здесь нет поля, нарушающего симметрию, поэтому не видно эффекта ты 2 , и его собственное значение у час . Вместо этого другое направление не имеет значения (также связанное с XY-симметричным полем), собственное значение только вносит вклад в поправку к масштабированию.

Большое спасибо, это проясняет для меня множество мелких недоразумений.
Только одно, если у вас есть несколько релевантных полей, не нарушающих симметрию. г 1 , г 2 , … что затем приводит к ты 1 , ты 2 … с масштабированием у 1 , у 2 , … . Значит ли это, что для любого г я , корреляционная длина будет расходиться как | г я − г я с | − ν я , с разным ν я ? Если да, то как узнать, какой у соответствует этому ν ?
Наиболее общее поведение длины корреляции можно записать как |u_1-u_1^c|^{-\nu_1}f(|u_2-u_2^c|^{-\nu_2}|u_1-u_1^c|^{\ nu_1},...), тогда как отношения между g и u в принципе могут быть очень сложными. Во всех известных мне примерах обычно можно соотнести ты 1 и ты 2 с двумя независимыми физическими параметрами, и нет никакой двусмысленности: вы определяете один показатель степени для каждого настраиваемого параметра, и все в порядке (это всего лишь вопрос соглашений). См., например, journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.28.675 .
Критические показатели и масштабные размерности из теории РГ
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v