Масштабирование эффективных гамильтоновых констант связи в ренормализационной группе Вильсонаина

Question

Масштабирование эффективных гамильтоновых констант связи в ренормализационной группе Вильсонаина

скз

Меня смущает аспект изменения масштаба постоянной связи в процедуре ренормализационной группы Вильсона. (Я следую «Статистической физике полей» Кардара, глава 5). Я думаю, что понимаю основную идею ренормализационной группы, но я учусь на первом курсе и не изучал теорию поля или продвинутый курс статистической механики, поэтому, если у меня есть концептуальная ошибка где-то я был бы очень признателен за любые исправления.

Статистическая сумма для гамильтониана Ландау-Гинзбурга записывается как ( $\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}) \ \text{and }\sigma(\mathbf{q})$ представляют собой разбиение исходного поля на медленную и быструю составляющие)

\begin{aligned} Z & "=" \int Д \tilde{\vec{м}} (д) Д о (д) опыт {- \int_{0}^{Λ} \frac{г^{г} д}{(2 π)^{г}} (\frac{т + К д^{2}}{2}) (| \tilde{м} (д) |^{2} + | о (д) |^{2}) - U [\tilde{\vec{м}} (д), о (д)]} \\ "=" \int Д \tilde{\vec{м}} (д) опыт {- \int_{0}^{Λ} \frac{г^{г} д}{(2 π)^{г}} (\frac{т + К д^{2}}{2}) (| \tilde{м} (д) |^{2}} опыт {- \frac{н В}{2} \int_{Λ / б}^{Λ} \frac{г^{г} д}{(2 π)^{г}} бревно (т + К д^{2})} ⟨ е^{- U [\tilde{\vec{м}}, \vec{о}]} ⟩_{о} \end{aligned}

$\begin{align} Z &= \int D\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q})D\sigma(\mathbf{q}) \exp{\bigg\{- \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \bigg( \frac{t + K q^2}{2} \bigg) (|\tilde{m}(\mathbf{q})|^2} + |\sigma(\mathbf{q})|^2)-U[\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}),\sigma(\mathbf{q})] \bigg\}\\ &= \int D\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}) \exp{\bigg\{- \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \bigg( \frac{t + K q^2}{2} \bigg) (|\tilde{m}(\mathbf{q})|^2}\bigg\} \exp{\bigg\{-\frac{nV}{2} \int_{\Lambda/b}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \log(t + K q^2) \bigg\}} \bigg\langle e^{-U[\tilde{\vec{m}},\vec{\sigma}]}\bigg\rangle_{\sigma} \end{align}$ Думаю, я понимаю общую процедуру: интегрировать импульсы выше порога отсечки; масштабировать импульсы

q = b^{- 1} q^{'}

$\mathbf{q} = b^{-1} \mathbf{q}'$ и поле

\tilde{\vec{m}} = z {\vec{m}}^{'}

$\tilde{\vec{m}} = z {\vec{m}\,}'$ . Затем вы получаете новый гамильтониан:

(β ЧАС)^{'} [м^{'}] "=" В (дельта ф_{б}^{0} + ты дельта ф_{б}^{1}) + \int_{0}^{Λ} \frac{г^{г} д^{'}}{(2 π)^{г}} б^{- г} г^{2} (\frac{\tilde{т} + К б^{- 2} д^{' 2}}{2}) | м^{'} (д^{'}) |^{2} + ты б^{- 3 г} г^{4} \int_{0}^{Λ} \frac{г^{г} д_{1}^{'} г^{г} д_{2}^{'} г^{г} д_{3}^{'} г^{г} д_{4}^{'}}{(2 π)^{г}} \vec{м} (д_{1}^{'}) \cdot \vec{м} (д_{2}^{'}) \vec{м} (д_{3}^{'}) \cdot \vec{м} (д_{4}^{'}) {дельта}^{г} (д_{1}^{'} + д_{2}^{'} + д_{3}^{'} + д_{4}^{'})

$(\beta H)'[m'] = V(\delta f_b^0 + u \delta f_b^1) + \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q'}}{(2\pi)^d} b^{-d}z^2\bigg( \frac{\tilde{t} + K b^{-2} q'^2}{2} \bigg) |m'(\mathbf{q'})|^2 +u b^{-3d} z^4 \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}'_1 d^d \mathbf{q}'_2 d^d \mathbf{q}'_3 d^d \mathbf{q}'_4}{(2\pi)^d} \vec{m}(\mathbf{q}'_1)\cdot \vec{m}(\mathbf{q}'_2)\vec{m}(\mathbf{q}'_3)\cdot\vec{m}(\mathbf{q}'_4) \ \delta^d(\mathbf{q}'_1+\mathbf{q}'_2+\mathbf{q}'_3+\mathbf{q}'_4)$

где $t$ является

\tilde{т} "=" т + 4 ты (н - 2) \int_{Λ / б}^{Λ} \frac{г^{г} \vec{к}}{(2 π)^{г}} \frac{1}{т + К к^{2}}

$\tilde{t} = t+4u(n-2) \int_{\Lambda/b}^{\Lambda} \frac{d^d \vec{k}}{(2\pi)^d} \frac{1}{t+K\ k^2}$

Затем вы выбираете $z=b^{1+\frac{d}{2}}$ так что $K$ остается такой же: $K'=K, \ u' = b^{-3d} \ z^4 \ u, \ \text{and} \ t'= b^{-d} \ z^2 \ \tilde{t}$ .

У меня вопрос: почему не $u$ внутри $\tilde{t}$ стать $u'$ ? Я так понимаю муфты меняются с отсечкой, так что не должно $u$ заменить на $u'$ где оно появляется? Если нет, то почему, и каков физический смысл этого? (Первоначально вопрос был задан здесь , но я решил разделить его на отдельные вопросы.)

Ответы (1)

Масштабирование эффективных гамильтоновых констант связи в ренормализационной группе Вильсонаина

bbrink · Answer 1

То, что вы делаете в рамках этого расчета, — это вывод соотношения между константами связи модели в грубом масштабе и исходном масштабе. Результаты, которые вы получаете,

К^{'} "=" К

$K' = K$

{ты}^{'} "=" б^{- 3 г} г^{4} ты,

$u' = b^{-3d} z^4 u,$

т^{'} "=" б^{- г} г^{2} (т + (н - 2) \int_{Λ / б}^{Λ} \frac{г^{г} \vec{к}}{(2 π)^{г}} \frac{1}{т + К к^{2}})

$t' = b^{-d} z^2 \left(t + (n-2)\int_{\Lambda/b}^\Lambda \frac{d^d\vec{k}}{(2\pi)^d} \frac{1}{t+K k^2}\right)$ представляют собой так называемые рекуррентные соотношения между параметрами в исходном мелком масштабе (

K

$K$ ,

u

$u$ , и

t

$t$ ) и параметры в крупном масштабе (

K^{'}

$K'$ ,

u^{'}

$u'$ , и

t^{'}

$t'$ ). Вы не заменяете

u

$u$ с

u^{'}

$u'$ в

\tilde{t}

$\tilde{t}$ по той же причине, по которой вы не заменяете

t

$t$ с

t^{'}

$t'$ . т. е. правые части — это старые параметры в исходном масштабе, левые — новые параметры в увеличенном масштабе.

Штрихованные величины на самом деле являются просто перемаркировкой членов вашего огрубленного гамильтониана, чтобы он соответствовал исходному гамильтониану (с точностью до приближений); они не являются заменой переменных. Единственное изменение переменных, которое вы фактически выполняете, — это изменение масштаба степеней свободы.

На случай, если это поможет прояснить, что вы на самом деле делаете во время этого расчета, я уточню последнее предложение: процедура ренормализационной группы состоит из двух отдельных шагов: 1) усреднение (интегрирование) статистических степеней свободы и 2) создание замена переменных на оставшихся степенях свободы для восстановления системы к исходному масштабу.

Мне нравится думать об этом с точки зрения распределения вероятностей: если у вас есть многомерное распределение $p(m_1,m_2,\dots,\sigma_1,\sigma_2,\dots) \propto \exp(-H(m_1,m_2,\dots,\sigma_1,\sigma_2,\dots))$ , то первым шагом процедуры ренормализационной группы является маргинализация (усреднение) переменных $\sigma_1,\dots$ для получения дистрибутива $p(m_1,m_2,\dots)$ . Затем вы определяете новый набор масштабированных переменных $m_1',m_2',\dots$ , давая новое распределение

п^{'} (м_{1}^{'}, м_{2}^{'}, \dots) "=" | \frac{\partial \vec{м}}{\partial \vec{м^{'}}} | п (м_{1} ({\vec{м}}^{'}), м_{2} ({\vec{м}}^{'}), \dots) \propto е^{- {ЧАС}^{'} (м_{1}^{'}, м_{2}^{'}, \dots)},

$p'(m_1',m_2',\dots) = \left|\frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m'}} \right| p(m_1(\vec{m}'),m_2(\vec{m}'),\dots) \propto e^{-H'(m_1',m_2',\dots)},$ где

| \frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m^{'}}} |

$\left|\frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m'}} \right|$ является якобианом замены переменных (здесь для простоты я предположил непрерывные переменные).

Часто это изменение переменных является просто изменением масштаба. $m' \sim z m$ (и поэтому якобиан не добавляет никаких важных членов к гамильтониану). После этого определение констант связи со штрихами в некотором смысле является просто вопросом очистки обозначений. Поскольку мы ожидаем, что во многих случаях наш крупнозернистый гамильтониан будет иметь более или менее ту же форму, что и наш исходный гамильтониан, имеет смысл определить новые константы связи, чтобы форма двух гамильтонианов была внешне похожа. например, если член парного взаимодействия в исходном гамильтониане был $J m_i m_j$ а попарный член в огрубленном гамильтониане равен $f(J,{\rm other~couplings}) m_i' m_j'$ , мы определяем $J' = f(J,{\rm other~couplings})$ .

Последующий концептуальный скачок заключается в том, что, если мы можем выполнить эту процедуру в первую очередь, смешивая огрубленный гамильтониан до тех пор, пока он не станет похож на исходный гамильтониан, то ничто не мешает нам делать это снова и снова, получая новый комплект грубых муфт $J'' = f(J',{\rm other~couplings}')$ , что позволяет нам интерпретировать эту связь между связями как рекурсивную связь в различных масштабах. (*важное предостережение: если имеется только конечное число степеней свободы, то мы можем выполнить эту процедуру только конечное число раз).

Большое спасибо за ваш ответ, он очень полезен. Я подозревал, что что-то подобное имело место и было причиной моего замешательства. Предложение подумать о дистрибутивах — это здорово! Можете ли вы также помочь с частью 2 моего вопроса здесь ? Я хотел бы написать «свободную энергию» как $Z' = \int Dm'(\mathbf{q}) e^{(\beta H_{gaussian})'[m'] + U'[m']} \rightarrow F_{gaussian} + F_{corrections}$ но не вижу, как расширить журнал (интегральный). Еще раз спасибо!
Извините, забыл поставить ссылку на мой первоначальный вопрос: physics.stackexchange.com/questions/552497/…

Масштабирование эффективных гамильтоновых констант связи в ренормализационной группе Вильсонаина

скз

Ответы (1)

bbrink

скз

скз

Критические показатели и масштабные размерности из теории РГ

Почему мы масштабируем и перенормируем поля?

Перенормировка и броуновское движение

Почему при критических явлениях ρmρm\rho_m пропорциональна отклонению температуры от критической?

Ренормализационная группа в d=3d=3d=3

Чем отличается масштабная инвариантность от самоподобия?

В чем смысл изменения связи после перенормировки (в одномерной модели Изинга)?

Связь между критической поверхностью и неподвижной точкой (перенормировки)

Сомнения с базовой перенормировкой

Каковы детали перенормировки теории Черна-Саймонса?