TL; DR см. в нижней части этого ответа.

Итак, во-первых, период обращения газового гиганта вокруг своей звезды равен$256 \times 24$часов, и я хотел бы установить расстояние от планеты до ее звезды. Поскольку вы ничего не уточнили о самой звезде, для простоты я возьму наше Солнце. Также для простоты (или чтобы сохранить здравомыслие всех, включая меня самого) я буду подходить к этому как к задаче двух тел, а не к задаче трех тел . Это снижает достижимую точность, но значительно упрощает математику. В качестве репрезентативного газового гиганта я буду использовать Юпитер.

В качестве приближения для орбиты планеты вокруг своей звезды мы можем использовать формулу для малого тела, вращающегося вокруг центрального тела :

$$r = \sqrt[3]{\frac{\mu T^2}{4 \pi ^2}}$$

куда:

• $r$- большая полуось орбиты в метрах (примечание: это не то же самое, что высота орбиты, но может быть приблизительно равна радиусу орбиты )
• $\mu$стандартный гравитационный параметр ,$\mu = GM$
  • $G$гравитационная постоянная в соответствующих единицах измерения.$6.67408 \times 10^{-11} ~\text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
  • $M$- масса центрального тела (в данном случае звезды) в кг
  • $\mu_\text{Sun} \approx 1.327 \times 10^{20} ~\text{m}^3 ~\text{s}^{-2}$
• $T$это орбитальный период в секундах

Мы знаем, что желаемое$T = 256 \times 24 \times 60 \times 60 = 22\,118\,400$секунды. Давайте подставим все эти значения и посмотрим, что получится:

$$r = \sqrt[3]{\frac{1.327 \times 10^{20} \times 22\,118\,400^2}{4 \pi ^2}} \approx \sqrt[3]{1.644442 \times 10^{33}} \approx 1.1803375 \times 10^{11}$$

Итак, ваша планета вращается на расстоянии около$1.2 \times 10^8$км, или 120 млн км, до своей звезды. Это сравнимо с обращением Венеры вокруг Солнца (большая полуось Венеры примерно$1.08 \times 10^8$км, с периодом обращения$224.7 \times 24$часы). Это очень близко для газового гиганта в чем-то похожем на нашу Солнечную систему, но это единственный способ получить требуемый период обращения планеты, сохраняя при этом звезду, подобную Солнцу. Вы можете крутить ручку для звездной массы ($M = M_\text{Sun}$, влияя$\mu_\text{Sun}$выше) до тех пор, пока вы не будете довольны результатом; для вдохновения посмотрите не дальше списка параметров звезд главной последовательности в Википедии, в котором указана масса звезд в пересчете на массу Солнца, из которого вы можете вычислить соответствующее значение для$\mu$.

Длина дуги сектора круга определяется выражением$L = \theta \times r$куда$\theta$представляет собой стягиваемый угол. Мы знаем приблизительную длину дуги (диаметр Солнца: удвоенный его радиус$695\,700$км) и расстояние ($1.2 \times 10^8$км) и хотим, чтобы угол стягивался, поэтому мы получаем

$$2 \times 695\,700~\text{km} = \theta \times 1.2 \times 10^8~\text{km} \Rightarrow \theta = \frac{2 \times 695\,700}{1.2 \times 10^8} = 0.011595$$

Потому что$\theta$получается в радианах, мы умножаем на 57,296 ° , чтобы получить угол в градусах, который оказывается равным 39,86 угловых минут или 0,664 градуса. Быстрая проверка в Википедии дает угол наклона Солнца относительно Земли (при орбитальном радиусе$1.5 \times 10^8$км) как 31,6-32,7 угловых минут, так что, возможно, это не идеально, но вполне в пределах нормы. Тот же расчет для радиуса орбиты$1.5 \times 10^8$км дает 31,9 угловых минуты, прямо в указанном диапазоне.

Вы указали период обращения Луны вокруг газового гиганта равным 192 часам, или$192 \times 3\,600 = 691\,200$секунды. Мы можем использовать уравнение vis-viva для вычисления соответствующего радиуса орбиты. У нас есть

$$v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$$

Для круговой орбиты$r = a$(радиус орбиты равен большой полуоси орбиты) и, таким образом,

$$\left( \frac{2 \pi r}{T} \right)^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{r} \right)$$

У нас есть$\mu_\text{Jupiter} \approx 1.267 \times 10^{17} ~\text{m}^3 ~\text{s}^{-2}$а также$T = 691\,200 ~\text{s}$. Переставляя , получаем

$$r = \sqrt[3]{\mu \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2} \approx 1\,153\,080 ~\text{km}$$

Таким образом, похожая на Землю луна вращается вокруг газового гиганта с радиусом орбиты около 1,15 миллиона км, потому что это радиус орбиты (для идеально круговой орбиты с эксцентриситетом $e = 0$или большая полуось равна малой полуоси), что соответствует желаемому периоду обращения. Это очень похоже на радиус орбиты Ганимеда (который составляет 1,07 млн ​​км, а эксцентриситет около 0,0013, если вам интересно), обеспечивая хорошую проверку здравомыслия для результата; Ганимед обращается вокруг Юпитера за 171 час, что лишь немногим меньше желаемых 192 часов, так что, по крайней мере, в первом приближении это подтверждается.

Формула для вычисления длины тени (центральной тени) затмения:

$$L = \frac{r \times R_o}{R_s - R_o}$$ куда $r$- расстояние от звезды до затмевающего объекта (в нашем случае газового гиганта), $R_o$- радиус затмевающего объекта, а $R_s$это радиус звезды. Таким образом, у нас есть теневой конус длины (где все значения расстояния и размера указаны в километрах). $$L = \frac{1.2 \times 10^8 \times 71\,492}{695\,700 - 71\,492} \approx \frac{8.58 \times 10^{12}}{624\,208} \approx 13.74 \times 10^6$$

Потому что$1.15 \times 10^6 \lt 13.74 \times 10^6$, луна проходит через конус тени, отбрасываемой планетой, поэтому мы имеем полное затмение (луна проходит через тень, отбрасываемую планетой). Итак, как долго длится затмение?

Рассматривая теневой конус как треугольник с длиной основания, равной диаметру планеты, и высотой, рассчитанной выше, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины полученной гипотенузы. (Это оказывается почти идентичным высоте, примерно$1.37400 \times 10^7$по высоте примерно$1.37439 \times 10^7$км.) Затем мы можем применить теорему о пересечении , которая утверждает, что при делении треугольника линией, параллельной основанию треугольника, длина новой базовой линии равна исходной базовой линии как гипотенузе части треугольника. равна полной длине гипотенузы. Аппроксимируя требуемую внутреннюю высоту как радиус орбиты Луны вокруг газового гиганта, мы получаем

$$\frac{DE}{2 \times 71\,492} = \frac{1\,150\,000}{13\,740\,000} \approx \frac{0.083697}{1}$$ куда $DE$- длина линии, соединяющей края треугольника на орбитальном радиусе Луны. Следовательно, закрытый путь для Луны составляет приблизительно $\frac{2 \times 71\,492}{0.083697} \approx 1.708 \times 10^6$км. (На самом деле это основание сегмента круга, где Луна следует сегменту круга, но разница достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь при таких уровнях точности.)

Окружность круга радиуса$1.15 \times 10^6$км

$$2 \pi r = 2 \pi \times 1.15 \times 10^6 \approx 7.226 \times 10^6 ~\text{km}$$

Таким образом, прохождение через тень, отбрасываемую планетой, занимает$\frac{1.708 \times 10^6}{7.226 \times 10^6} \approx 0.2364$периода обращения Луны. Умножение на период обращения в 192 часа дает нам продолжительность 45,4 часа в пределах полной зоны затмения (тени).

Обратите внимание, что есть три вещи, которые я фактически игнорирую в приведенных выше расчетах. Во-первых, я утверждаю, что все тела вращаются вокруг эклиптики вашей Солнечной системы ; если их орбиты наклонены друг относительно друга, вам необходимо принять во внимание угол, под которым они вращаются (наклон). Это немного усложняет математику без существенного выигрыша, поскольку тела, которые естественным образом формируются в Солнечной системе, скорее всего, вращаются близко к эклиптике. Я оставляю это исключительно в качестве упражнения для читателя.

Во-вторых, я игнорирую орбитальное движение планеты вокруг звезды. Когда луна (похожая на Землю) вращается вокруг планеты (газового гиганта), а планета (газовый гигант) вращается вокруг звезды, это приведет к тому, что видимое затмение будет либо немного короче, либо немного длиннее. (Во что он превратится, зависит от относительного направления орбитального движения.) Я слишком ленив, чтобы объяснить это, поэтому я просто не знаю, но это не должно быть чем-то большим, чем тригонометрия, если вы действительно хотите это сделать. эту часть математики самостоятельно.

В-третьих, я игнорирую тот факт, что Луна размером с Землю будет немного тянуть планету. Барицентр системы на самом деле будет не в центре планеты, а немного за пределами центра планеты, что заставит их объединиться в своего рода орбитальном танце. Это очень похоже на то, как в нашей Солнечной системе Юпитер возмущает Солнце , несмотря на то, что он всего лишь$\frac{1}{1\,047}$масса, или как земная луна возмущает Землю .

TL;DR:

Один набор значений, соответствующих вашим критериям:

• Звездная масса$1.99 \times 10^{30}$кг (1 солнечная масса) (по выбору)
• Диаметр звезды$1\,391\,400$км (1 солнечный диаметр) (по выбору)
• Масса планеты$1.8986 \times 10^{27}$кг (1 масса Юпитера) (по выбору)
• Диаметр планеты$142\,984$км (1 диаметр Юпитера) (по выбору)
• Период обращения планеты вокруг звезды$256 \times 86\,400$секунды (по указу)
• Радиус орбиты планеты вокруг звезды$1.2 \times 10^8$км
• Период обращения Луны вокруг планеты$192 \times 3\,600$секунды (по указу)
• Радиус орбиты Луны вокруг планеты$1.15 \times 10^6$км
• Длина затмения$45.4 \times 3\,600$секунды

Есть много других наборов значений, которые могут соответствовать вашим критериям. Если вас не устраивает вышеизложенное, просто выберите другие значения масс и радиусов и повторите вычисление; нет ничего магического в размерах Солнца или Юпитера. Только не забудьте изменить значение$\mu$соответственно!

Я чешу затылок, но если я правильно это читаю, то ответ на ваш вопрос содержится в вопросе. :)

Насколько я могу судить, есть только два возможных ответа.

Во-первых, затмение продлится 24 часа. Поскольку вы указали, что в мире 24-часовой день, а восьмой день приходится на затмение, затмение должно длиться весь день.

Или, во-вторых, она продлится 12 часов. Поскольку мир вращается, и в любом случае на одной стороне планеты будет ночь, затмение должно длиться только дневную часть дня, и эта сторона планеты все еще будет находиться во тьме в течение всех 24 часов. Однако противоположная сторона даже не знала бы, что таким образом было затмение.

Но, честно говоря, поскольку вы можете поместить планету практически в любое место внутри орбиты газового гиганта и у вас есть много места для маневра в размерах газового гиганта, ничто не мешает затмению происходить практически столько времени, сколько вы хотите. быть. Если вы хотите, чтобы затмение длилось дольше, тогда планета находится ближе к газовому гиганту. Если вы хотите, чтобы затмение было короче, планета находится дальше от газового гиганта.

Хотя хорошо иметь в виду, что если у вас будет долгое затмение, то газовый гигант также будет больше в вашем небе. Чем короче затмение, тем меньше газовый гигант на вашем небе.

Надеюсь, я помог!

Вам нужно принять во внимание два эффекта, учитывая, что вы зафиксировали размер луны: орбитальную скорость и видимый размер луны.

Длительное затмение обеспечивается медленно вращающейся луной, что достигается размещением ее далеко от планеты. Но размещение его далеко также заставит его казаться меньше, поэтому он менее способен защищать звезду.

И наоборот, если оно ближе к планете, оно кажется больше, но и движется быстрее по небу, сокращая продолжительность затмения.

Поскольку вы не упомянули, как далеко планета от звезды и насколько велика звезда, вы также можете поиграть с этими двумя дополнительными параметрами.

Еще одна проблема: время затмения менялось каждый день. Тень газового гиганта будет находиться в другом положении по мере того, как она движется вокруг звезды.

Таким образом, вы не получите «день затмения» в таком регулярном расписании.

Единственный способ, которым я вижу, чтобы это работало как фиксированное «каждые 8 ​​дней», было бы, если бы газовый гигант был привязан к звезде приливом (возможно ли это вообще для газового гиганта?), а Луна была бы достаточно близко к газовому гиганту, чтобы быть увлекаемый вращением газового гиганта.

Я думаю, что для выполнения этих двух условий газовый гигант должен быть так близко к звезде, а Луна — так близко к планете, что Луна будет очень горячей.