Краткое примечание

Согласно Википедии , решение подобия является формой масштабной инвариантности , так что в случае потока жидкости поток «выглядит» одинаково независимо от масштаба времени или длины.

Вопрос 1

Написано, что для существования подобия решений число Маха должно быть постоянным... поясните, пожалуйста?

В случае решений, подобных Тейлору-Седову-фон Нейману [например, см. стр. 192-196 в Whitham , 1999], релевантным параметром является положение ударной волны в$r = R\left( t \right)$, предоставленный:

$$R\left( t \right) = k \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{2/5} \tag{1}$$ где $t$это время от начального выделения энергии $E$из точечного источника, $\rho_{up}$- массовая плотность окружающего газа, а $k$безразмерный параметр, используемый для масштабирования. Эти решения основаны на двух следующих предположениях:

1. взрыв произошел в результате внезапного выброса энергии$E$из точечного источника и$E$— единственный размерный параметр, вносимый взрывом;
2. возмущение настолько велико, что давлением окружающего воздуха/газа и скоростью звука можно пренебречь по сравнению со взрывной волной.

Второе предположение подразумевает предел сильного удара, а именно то, что параметры ниже по потоку определяются (в системе скачков):

$$\begin{align} U_{dn} & = \left( \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \right) U_{up} \tag{2a} \\ \rho_{dn} & = \left( \frac{ \gamma + 1 }{ \gamma - 1 } \right) \rho_{up} \tag{2b} \\ P_{dn} & = \left( \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \right) \rho_{up} \ U_{up}^{2} \tag{2c} \end{align}$$ где индекс $up$( $dn$) соответствует восходящим (нисходящим) средним значениям, $\gamma$отношение удельных теплоемкостей , $U_{j}$объемная скорость потока в регионе $j$(т.е. $up$или $dn$), и $P_{j}$это давление (здесь используется только динамическое или напорное давление ) в области $j$.

Из уравнения 1 видно, что единственным релевантным параметром окружающего воздуха/газа является плотность,$\rho_{up}$. Обратите внимание, что ударная скорость,$U_{up}$, тогда будет задано$dR/dt$(т. е. производная уравнения 1 по времени), или:

$$\begin{align} U_{up}\left( t \right) & = \frac{ 2 \ k }{ 5 } \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{-3/5} \tag{3a} \\ & = \frac{ 2 \ k^{5/2} }{ 5 } \sqrt{ \frac{ E }{ \rho_{up} } } \ R^{-3/2} \tag{3b} \end{align}$$ Поскольку плотность и давление вверх по потоку считаются постоянными, скорость звука вверх по потоку $C_{s,up}$, также должны быть постоянными.

Ответ 1: Число Маха будет пропорционально связано со временем как$M \propto t^{-3/5} \propto R^{-3/2}$, который не является постоянным, но может быть выражен независимо от временных или пространственных масштабов. На очень малых радиальных расстояниях можно, конечно, аппроксимировать число Маха как примерно постоянное, но во многих случаях это не очень хорошее приближение, если ударная волна не является «старой».

вопрос 2

и Объясните, пожалуйста, когда можно найти автомодельные течения с переменными числами Маха?

Самоподобие приведенных выше соотношений возникает из - за отсутствия в решениях независимых масштабов длины или времени. Это потому, что мы можем переписать уравнения 2а и 2с исключительно в терминах$E$и$R$так что они явно не зависят от длины или времени. Мы можем решить уравнение 1 для$t$и используйте его, чтобы инвертировать наши выражения давления и скорости потока. Эти выражения задаются как:

$$\begin{align} U_{dn} & = \left( \frac{ 4 \ k }{ 5 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{-3/5} \tag{4a} \\ & = \left( \frac{ 4 \ k^{5/2} }{ 5 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \sqrt{ \frac{ E }{ \rho_{up} } } \ R^{-3/2} \tag{4b} \\ P_{dn} & = \left( \frac{ 8 \ \rho_{up} \ k^{2} }{ 25 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{2/5} \ t^{-6/5} \tag{4c} \\ & = \left( \frac{ 8 \ E \ k^{2} }{ 25 \left( \gamma + 1 \right) } \right) R^{-3} \tag{4d} \end{align}$$

Таким образом, вы можете видеть, что$U_{dn}$и$P_{dn}$являются только функциями (явно)$E$и$R$. С$E/\rho_{up}$имеет единицы$L^{5}/T^{2}$, можно определить безразмерный параметр$\zeta = E t^{2}/\rho_{up} r^{5}$что все соответствующие параметры (например,$U_{dn}$) должен каким-то образом зависеть, где$r$это просто радиальное положение. Далее можно определить безразмерный параметр$\xi = r/R\left( t \right) \propto \zeta^{-1/5}$, от которого должны зависеть все наши характеристики.

Ответ 2: число Маха может быть переменным (т. е. зависеть от радиального положения), но можно составить систему уравнений, согласно которой оно не зависит явно от длины или масштаба времени. Я думаю, вы, возможно, путали постоянную с независимостью от времени и масштабов длины.

Вопрос 3

Также подскажите, пожалуйста, диапазон чисел Маха и Кнудсена, применимых в межзвездной среде?

В Википедии есть список соответствующих параметров межзвездной среды (ISM). Вы можете использовать выражения, найденные в этом ответе , для определения соответствующих скоростей звука. Чтобы определить число Кнудсена ,$K_{T}$, вы можете оценить длину свободного пробега кулоновских столкновений и использовать$L_{T} = \lvert d \ln{T_{e}}/dx \rvert^{-1}$как характерная длина шкалы, где$T_{e}$- температура электронов (вы также можете использовать общую температуру) и$d/dx$просто одномерный пространственный градиент.

Ответ 3: В солнечном ветре$K_{T}$~ 0,01-10 [например, Bale et al. , 2013; Хорайтс и др. , 2015; Ланди и др. , 2014] и$K_{T}$~ 1 для локальной межзвездной среды или LISM [например, Баранов , 2009]. Для других регионов ISM неопределенность в$K_{T}$будет большим, так как он должен быть выведен только из измерений электромагнитного излучения, которые требуют многочисленных предположений, чтобы преобразовать спектр в распределение скоростей частиц.

Что касается числа Маха в ISM, это зависит от того, по отношению к какому объекту или системе отсчета. Если вы ищете число Маха, скажем, гелиосферы по отношению к LISM, есть множество статей о гелиосферном головном ударе (на самом деле в настоящее время обсуждается, достаточно ли велик поток LISM, чтобы создать изгиб). шок здесь).

Рекомендации

• Бэйл, С.Д. и др. (2013) «Электронная теплопроводность в солнечном ветре: переход от Спитцера-Харма к бесстолкновительному пределу», Astrophys. Дж. Летт. 769 (2), L22, doi:10.1088/2041-8205/769/2/L22.
• Баранов, В.Б. (2009) "Кинетико-жидкостная перспектива моделирования интерфейса гелиосфера/межзвездная среда", Space Sci. Rev. 143 , стр. 449-464, doi:10.1007/s11214-008-9392-6.
• Хораитес, К., и др. (2015) «Автомодельная теория теплопроводности и применение к солнечному ветру», Phys. Преподобный Летт. 114 (24), 5003, doi:10.1103/PhysRevLett.114.245003.
• Ланди С. и др. (2014) «Поток электронного тепла в солнечном ветре: наблюдаем ли мы предел столкновений в данных 1 а.е.?», Astrophys. Дж. Летт. 790 (1), L12, doi:10.1088/2041-8205/790/1/L12.
• Уитэм, Великобритания (1999), Линейные и нелинейные волны , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.