Почему существуют звездные границы?

Звезды не имеют жесткой границы или поверхности в том смысле, что ваш вопрос, кажется, предполагает, что вы думаете. Солнце выглядит как красивая дискретная сфера из-за оптических эффектов . То, что мы называем поверхностью Солнца, называется фотосферой .

Мы называем это поверхностью, потому что это то, что мы фактически видим, когда смотрим на солнце. Однако эта поверхность как раз и есть точка, где оптическая толщина приближается к единице. Это означает, что это область, где ионизированный газ становится непрозрачным для фотонов видимого света.

Технически можно сказать, что солнечная атмосфера включает в себя то, что известно как гелиосфера , поэтому мы, на Земле, технически находимся внутри солнечной атмосферы. Таким образом, верхняя граница больше похожа на завершающую ударную волну , чем на фотосферу, но это зависит от вопроса, который вы хотите задать (подробнее об этом ниже).

Более массивные звезды имеют еще более неоднозначную поверхность из-за различных эффектов. Например, звезды Вольфа-Райе и звезды O-типа часто имеют очень протяженные короны , что затрудняет определение поверхности .

Какие теоремы или идеи доступны, чтобы решить, должна ли звезда с некоторой заданной взаимозависимостью между ее распределением плотности, давления и температуры иметь границу на конечном расстоянии от ее центра?

Я собираюсь прочитать ваш вопрос, потому что, как уже говорилось в нескольких комментариях, звезда не может быть бесконечной.

Подумайте об атмосфере планеты, такой как Земля или Венера . Обычно мы описываем их с помощью модели, потому что в действительности они не однородны и не всегда непрерывны (т. е. я имею в виду резкие градиенты плотности, которые могут иногда возникать). Модель часто имеет плотность массы и следует экспоненте со следующей формой:

$$\rho\left( h \right) = \rho_{o} e^{-h/h_{o}} \tag{1}$$ где $\rho\left( h \right)$плотность массы на высоте $h$, $\rho_{o}$- некоторая контрольная точка или известная плотность массы (например, средняя плотность массы на уровне моря может быть хорошим выбором), и $h_{o}$- высота шкалы или расстояние e-кратности (т. е. это величина, аналогичная периоду полураспада радиоактивных материалов). $h_{o}$Параметр часто связывают с мягкой верхней границей атмосферы. Его можно определить довольно легко, но важным фактором здесь является его физический смысл. Вы можете видеть, что нигде в уравнении 1 нет жесткой границы (т. е. величина $\rho\left( h \right)$асимптотически приближается к нулю, но никогда не достигает его), но эта модель очень хорошо описывает атмосферы большинства планет.

Отвечать

Чтобы ответить на ваш вопрос, верхняя граница часто определяется на основе модели (например, той, которую вы представляете в своем вопросе, или уравнения 1 в моем ответе), а физическая интерпретация заключается в том, что на высотах выше$h_{o}$, плотность (или любой другой важный параметр) настолько ниже, чем все, что ниже, что мы можем аппроксимировать ее как малую, пренебрежимо малую или нулевую в зависимости от уровня точности, необходимого для данной задачи.

Я знаю, что это неудовлетворительно, но физика занимается поиском способов аппроксимировать природу, не игнорируя соответствующие эффекты. Таким образом, верхняя граница на самом деле определяется проблемой, которую вы надеетесь решить, и вашим выбором модели, поскольку в действительности нет жесткой верхней границы для газообразного тела, такого как звезда ( Примечание: я игнорирую звездные ядра и экзотические случаи, такие как нейтронные звезды). .).

Пример

В случае с солнцем обратите внимание, что плотность также описывается экспоненциальной моделью, но несколько более сложной из-за ионизации частиц. Несмотря на это, в нижней хромосфере полная плотность водорода может быть порядка$n_{H} \sim 10^{14} \ cm^{-3}$или$\sim 10^{20} \ m^{-3}$, которая уже на четыре порядка тоньше фотосферы. Выше примерно одного солнечного радиуса,$R_{\odot}$, числовая плотность падает еще больше до$\sim 10^{4} \ cm^{-3}$($\sim 10^{10} \ m^{-3}$) только на высоте$\sim 5 \ R_{\odot}$, или примерно на десять порядков.

Таким образом, как вы можете видеть, количество вещества в единице объема начинает становиться пренебрежимо малым выше некоторой масштабной высоты, но не стремится к нулю. Мы не можем смоделировать все идеально, поэтому хитрость заключается в том, чтобы приблизиться к тому месту, где атмосфера больше не имеет значения, в рамках вопроса, который вы пытаетесь решить.

Примечание: на высоте 1 а.е. (т. е. примерно на месте орбиты Земли) числовая плотность солнечной атмосферы упала до$\sim 1-10 \ cm^{-3}$($\sim 10^{6}-10^{7} \ m^{-3}$).

Позвольте мне привести пример, который я только что вычислил:

Предварительные:

1) Через уравнение Пуассона уравнение гидростатики можно переписать как

$$\begin{equation} \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dp}{dr}\right)=-4\pi G \rho \end{equation}$$

2) Мы можем упростить это, введя энтальпию$h$путем интеграции

$$\begin{equation} \frac{dh}{dr}=\rho \frac{dp}{dr} \end{equation}$$ что подразумевает, что $h$, нравиться $p$, не увеличивается в $r$. $h$определяется с точностью до постоянного члена, который мы устанавливаем требованием, чтобы $h(R) = 0$(что не всегда возможно, но ладно в случае, который я рассмотрю. Кстати, $R=\infty$конечно можно). Уравнение гидростатики теперь читается $$\begin{equation} \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dh}{dr}\right)=-4\pi G \rho \end{equation}$$

3) Для облегчения дела введем безразмерные величины

$$\begin{equation} \begin{cases} & r(x)=Rx \\ & \rho(r(x))=\rho(0) u(x) \\ & h(r(x))=h(0) v(x) \end{cases} \end{equation}$$ так что $u(0)=v(1)=1$и где мы выбрали масштаб $R$так что уравнение равновесия хорошо читается $$\begin{equation} \frac{1}{x^2}(x^2v'(x))' = - u(x) \end{equation}$$ (штрихи обозначают дифференцирование по $x$).

Теорема Предположим, что$u$и$v$являются решением приведенного выше дифференциального уравнения с указанными граничными условиями и$\forall x > 0$у нас есть это$v(x)^2=:f(v(x))\leq u(x)\leq g(v(x)):=1-\epsilon + \epsilon v(x)$($\epsilon>0$сколь угодно мало), то$v$имеет корень для некоторого конечного$x^*$. (Примечание: для звезды из невырожденного холодного вещества мы бы имели$u=v^{\frac{3}{2}}$, так что этот случай рассматривается в настоящее время)

доказательство : Доказательство продолжается, предполагая, что$v>0$на всей положительной действительной оси (так что$v$также удовлетворяет уравнению гидростатики во всем этом диапазоне), а затем получаем противоречие. Я предоставляю читателю проверить это$\lim_{x\to 0+} u(x)=1=\lim_{x\to 0+} v(0)$подразумевает, что$\lim_{x\to 0+} v'(x)=0$. На интервале$I:=(0,x^*)$где$u$положителен, мы уверены, что$\forall x \in I$

$$\begin{equation} x^2v'(x)=-\int_0^x s^2u(s)\text{d}s < 0 \end{equation}$$ так $v$заведомо убывает на том же интервале. Также обратите внимание, что $$\begin{equation} -1=\lim_{x \to 0+}-u(x)=\lim_{x \to 0+} \left(v''(x)+2\frac{v'(x)}{x}\right)=3\lim_{x \to 0+}v''(x) \end{equation}$$ Так что мы обязательно найдем $\delta>0$такой, что $v(x)\leq 1-\frac{1}{12}x^2$пока $x < \delta$. Вместе с тем, что $v$уменьшается, это означает $v < v_1:=1-e$где $$\begin{equation} e(x)=\begin{cases} &\frac{1}{12}x^2 \text{ when } x < \delta \\ &\frac{1}{12}\delta \text{ otherwise }\end{cases}. \end{equation}$$ Это означает, что $u \leq g(v) < g(v_1)=1-\epsilon e$. Итак, интеграция $$\begin{equation} x^{-2}(x^2v')'=-u > 1 - \epsilon e \end{equation}$$ дает $$\begin{equation} v(x)>max(0,1-\frac{x^2}{2}+d(x))\geq \begin{cases}& 1-\frac{x^2}{2}+d(x) \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 0 \text{ otherwise.}\end{cases}=:v_2(x) \end{equation}$$ где я определил положительную непрерывную функцию $d(x):=\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s \text{d}t(t^2 e(t))$чьи данные не важны. Теперь, в свою очередь, у нас есть это $$\begin{equation} x^{-2}(x^2v')'=-u \leq -f(v) \leq -f(v_2)=-v_2^2. \end{equation}$$ Снова интегрируя, получаем, что $$\begin{equation} v(x) \leq \begin{cases} & 1-\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 1-\int_0^\sqrt{6} \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})\int_0^{\sqrt{6}} (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t \text{ otherwise } \end{cases} < \begin{cases} & 1-\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6})^2)\text{d}t \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 1-\underbrace{\int_0^\sqrt{6} \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6})^2)\text{d}t}_{=:a}+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})\underbrace{\int_0^{\sqrt{6}} (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t}_{=:b} \text{ otherwise } \end{cases} \end{equation}$$ где можно вычислить, что $a=\frac{19}{35}$и $b>\frac{16}{35}\sqrt{6}$с неравенством из-за дополнительного положительного вклада положительной функции $d$. Таким образом, вторая половина верхней границы читается $$\begin{equation} v(x)<\frac{16}{35}+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})b=\frac{16}{35}+(\frac{\sqrt{6}}{x}-1)(\frac{16}{35}+\kappa) \end{equation}$$ (когда $x > \sqrt{6}$) где $\kappa>0$является небольшой константой. Эта верхняя граница имеет нуль на конечном $\tilde{x}$. Следовательно $v$имеет нуль на конечном $x'\leq\tilde{x}$, что является противоречием. Следовательно $v$имеет нуль на конечном $x^*$(Эта логика звучит странно, но она верна)

Точно так же я использовал уловки, благодаря которым я получил эту теорему, чтобы численно определить, что$f(v)=0.95 v^3$(Напомним, что$u=v^3$является политропой вырожденной материи) и$g(v)=v^{2.5}$также подразумевает конечный радиус. Комбинации, такие как$(g,f)=(v^{1.5},v^3)$и$(g,f)=(v^2,v^3)$не дают никаких выводов (используя этот метод численно).