Марс только что столкнулся с Землей! Вопрос об эксцентричности

Кеплеровская орбита Земли вокруг Солнца определяется двумя константами: удельной орбитальной энергией $E$и удельный относительный угловой момент $h$:

$$\begin{align} E &= \frac{1}{2}v_{r,\oplus}^2 + \frac{1}{2}v_{T,\oplus}^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a},\\ h^2 &= r^2\,v^2_{T,\oplus} = \mu a(1-e^2), \end{align}$$ куда $\mu = G(M_\odot + M_\oplus)$, $r$- расстояние Земля-Солнце (в момент удара), $a$большая полуось, $e$эксцентриситет орбиты, $v_{r,\oplus}$- радиальная орбитальная скорость Земли, а $v_{T,\oplus}$тангенциальная скорость. Теперь предположим, что большой астероид сталкивается с Землей с орбитальной скоростью $(v_{T,A},v_{r,A})$и масса $M_A$. Тогда его относительная скорость $$\begin{align} v_{T,A}' &= v_{T,A} - v_{T,\oplus},\\ v_{r,A}' &= v_{r,A} - v_{r,\oplus}. \end{align}$$ Мы можем выразить эти относительные скорости через общую скорость удара $v_\text{i}$и угол удара $\theta$: $$\begin{align} v_{T,A}' &= v_\text{i}\cos\theta,\\ v_{r,A}' &= -v_\text{i}\sin\theta, \end{align}$$ где я определил $\theta$как на рис. 1 этой статьи . Итак, мы получаем $$\begin{align} v_{T,A} &= v_{T,\oplus} + v_\text{i}\cos\theta,\\ v_{r,A} &= v_{r,\oplus} - v_\text{i}\sin\theta. \end{align}$$ Если мы предположим, что столкновение является центральным, что потеря тепла незначительна и что обломки остаются гравитационно связанными с Землей, то закон сохранения количества движения подразумевает $$\begin{align} M_\oplus\,v_{T,\oplus} + M_A\,v_{T,A} &= (M_\oplus+M_A)u_{T,\oplus}\\ M_\oplus\,v_{r,\oplus} + M_A\,v_{r,A} &= (M_\oplus+M_A)u_{r,\oplus}, \end{align}$$ с $(u_{T,\oplus},u_{r,\oplus})$новая орбитальная скорость Земли (и гравитационно связанного мусора) после удара. Мы получаем $$\begin{align} u_{T,\oplus} &= v_{T,\oplus} + \frac{M_A}{M_\oplus+M_A}v_\text{i}\cos\theta,\\ u_{r,\oplus} &= v_{r,\oplus} - \frac{M_A}{M_\oplus+M_A}v_\text{i}\sin\theta. \end{align}$$ Таким образом, орбитальная энергия и угловой момент изменятся на $$\begin{align} E' &= \frac{1}{2}u_{r,\oplus}^2 + \frac{1}{2}u_{T,\oplus}^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a'},\\ h'^2 &= r^2\,u^2_{T,\oplus} = \mu a'(1-e'^2). \end{align}$$ (изменение в $\mu$ничтожно мало). Хорошо, давайте подставим несколько цифр. Предположим, мы начинаем с круговой орбиты с радиусом, равным современной большой полуоси: $$\begin{align} \mu &= 1.32712838\times 10^{11}\;\text{km}^3\,\text{s}^{-2},\\ r &= a = 1.49598261\times 10^{8}\;\text{km},\\ e &= 0. \end{align}$$ Для круговой орбиты следует, что $$\begin{align} v_{T,\oplus} &= \sqrt{\frac{\mu}{r}}= 29.785\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ v_{r,\oplus} &=0\;\text{km}\,\text{s}^{-1}. \end{align}$$ Скорость удара астероида всегда будет не меньше скорости убегания Земли. $11.2\,\text{km/s}$, то есть скорость, которую он приобретает, когда попадает в яму гравитационного потенциала Земли. В статье, на которую я уже ссылался, говорится, что типичные скорости столкновения с астероидами находятся в диапазоне $12-20\,\text{km/s}$. Теоретически скорость удара может достигать $72\,\text{km/s}$в случае лобового столкновения, когда Земля и астероид имеют противоположные орбитальные скорости, таким образом, относительная скорость ~ $60\,\text{km/s}$, увеличенную со скоростью убегания, когда астероид попадает в нашу гравитационную потенциальную яму. Это очень маловероятно для астероидов, но возможно для комет.

Итак, примем типичную скорость удара$v_\text{i}=16\,\text{km/s}$, масса$M_A = 0.1M_\oplus$и угол удара$\theta=45^\circ$. Мы нашли

$$\begin{align} u_{T,\oplus} &= 30.813\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ u_{r,\oplus} &= -1.0285\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ E' &= -411.87\;\text{km}^2\,\text{s}^{-2},\\ h'^2 &= 2.1248\times 10^{19}\;\text{km}^4\,\text{s}^{-2},\\ a' = -\frac{\mu}{2E'} &= 1.61109\times 10^8\;\text{km},\\ e' = \big[1- h'^2/(\mu a')\big]^{1/2} &= 0.0788,\\ r_\text{p} = a'(1-e') &= 1.48411\times 10^8\;\text{km},\\ r_\text{a} = a'(1+e') &= 1.73807\times 10^8\;\text{km}, \end{align}$$ с $r_\text{p}$а также $r_\text{a}$перигелий и афелий. Очевидно, что влияние на орбиту Земли существенно.

В случае прямого удара сзади получаем$\theta=0^\circ$,$v_\text{i}=11.2\,\text{km/s}$, чтобы

$$\begin{align} u_{T,\oplus} &= 30.803\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ u_{r,\oplus} &= 0\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ E' &= -412.72\;\text{km}^2\,\text{s}^{-2},\\ h'^2 &= 2.1234\times 10^{19}\;\text{km}^4\,\text{s}^{-2},\\ a' = -\frac{\mu}{2E'} &= 1.60778\times 10^8\;\text{km},\\ e' = \big[1- h'^2/(\mu a')\big]^{1/2} &= 0.0695,\\ r_\text{p} = a'(1-e') &= 1.49598\times 10^8\;\text{km},\\ r_\text{a} = a'(1+e') &= 1.71958\times 10^8\;\text{km}. \end{align}$$ Как и ожидалось, радиус удара стал перигелием, а изменение эксцентриситета было минимальным.

И просто для удовольствия, давайте попробуем наихудший сценарий:$\theta=180^\circ$,$v_\text{i}=72\,\text{km/s}$:

$$\begin{align} u_{T,\oplus} &= 23.239\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ u_{r,\oplus} &= 0\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ E' &= -617.10\;\text{km}^2\,\text{s}^{-2},\\ h'^2 &= 1.2086\times 10^{19}\;\text{km}^4\,\text{s}^{-2},\\ a' = -\frac{\mu}{2E'} &= 1.07530\times 10^8\;\text{km},\\ e' = \big[1- h'^2/(\mu a')\big]^{1/2} &= 0.391,\\ r_\text{p} = a'(1-e') &= 0.65462\times 10^8\;\text{km},\\ r_\text{a} = a'(1+e') &= 1.49598\times 10^8\;\text{km}, \end{align}$$ так что радиус удара стал афелием, а изменение эксцентриситета максимально. Хотя интересно, сколько осталось бы от Земли после такого апокалиптического события...

Если столкновение не центральное, то часть энергии будет передана осевому вращению Земли, что должно уменьшить влияние на орбиту. Но это будет сложнее измерить.