Математическая формулировка для фермионных интегралов по траекториям?

Question

Математическая формулировка для фермионных интегралов по траекториям?

Хаошу ли

По сравнению с интегралом по путям для бозонов, как мы можем математически сформулировать интеграл по путям Фермиона? Для бозонного интеграла по путям интегрирование означает интеграл Лебега по мере на $(\mathbb{R}^T, \mathcal{B}(\mathbb{R}^T))$ когда мы рассматриваем евклидово действие. ( $T$ вот произвольный набор индексов)

Из статьи ( Березин-интеграция ) я узнал, как определить конечномерный интеграл Березина. Но фермионный интеграл по путям относится к «бесконечномерному» интегралу Березина, я действительно не знаю, как его определить. Сравните со случаем с бозоном, мы используем наши знания об интегрировании на $\mathbb{R}^n$ построить теорию интеграции на $\mathbb{R}^T$ таким образом, что борелевское множество $\mathbb{R}^T$ строится по борелевскому множеству $\mathbb{R}^n$ . Но теперь в фермионном случае у нас нет борелевского множества (интегрирование рассматривается как функционал), как мы можем определить «бесконечномерный» интеграл Березина?

Qмеханик

FWIW, интегрирование по нечетной линии Грассмана

R^{0 | 1}

$\mathbb{R}^{0|1}$ обсуждается в этом посте Phys.SE. Суть в том, что нет смысла интегрировать по подмножествам. В меньшей степени для более высоких измерений.

Хаошу ли

Я понимаю обычную интеграцию Березина, но не понимаю, что это бесконечномерная версия интеграции Березина.

Qмеханик

Интеграция через

R^{0 | \infty}

$\mathbb{R}^{0|\infty}$ можно определить как

n \to \infty

$n\to \infty$ предел интегрирования по

R^{0 | n}

$\mathbb{R}^{0|n}$ .

Хаошу ли

Означает ли это, если это

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$ предел существует, то мы определяем интеграцию, равную пределу?

Ответы (1)

Математическая формулировка для фермионных интегралов по траекториям?

FWIW, интегрирование по нечетной линии Грассмана $\mathbb{R}^{0|1}$ обсуждается в этом посте Phys.SE. Суть в том, что нет смысла интегрировать по подмножествам. В меньшей степени для более высоких измерений.
Я понимаю обычную интеграцию Березина, но не понимаю, что это бесконечномерная версия интеграции Березина.
Интеграция через $\mathbb{R}^{0|\infty}$ можно определить как $n\to \infty$ предел интегрирования по $\mathbb{R}^{0|n}$ .
Означает ли это, если это $n \rightarrow \infty$ предел существует, то мы определяем интеграцию, равную пределу?

Абдельмалек Абдесселам · Answer 1

Введение в интегрирование Березина в бесконечной размерности содержится в Приложении A (стр. 75) к айзенштадтским лекциям Джоэла Фельдмана «Ренормализационная группа и фермионные функциональные интегралы» . Метод по существу исходит из предела конечномерного случая, но это требует некоторой топологии, а именно, подходящих норм и гипотез о ковариациях строящихся фермионных гауссовских мер.

Также заметьте, что то, что вы сказали о случае с бозоном, — не лучший математический способ установить ситуацию. Если вы рассматриваете евклидову КТП в $d$ (пространство-время) измерения, вы не делаете интеграл по измеримому пространству $(\mathbb{R}^T,\mathcal{B}(\mathbb{R}^T))$ с $T=\mathbb{R}^d$ . Я полагаю, вы имеете в виду $\mathbb{R}^T$ оснащен топологией продукта, и вы используете соответствующий Borel $\sigma$ -алгебра. Кроме того, мера Лебега $D\phi$ не существовало бы на таком пространстве. В случае бозона правильное измеримое пространство было бы $(S'(\mathbb{\mathbb{R}^d}),\mathcal{B}(S'(\mathbb{\mathbb{R}^d})))$ . А именно, скалярное поле $\phi(x)$ интегрирование - это не функция, а скорее распределение Шварца.

Но в боснийском случае я не имею в виду набор индексов $T=\mathbb{R}^d$ . В вашем примере, т.е. евклидова QFT в d измерениях, набор индексов $T$ можно принять за $S(\mathbb{R}^d)$ и закаленное распределительное пространство $S'(\mathbb{R}^d)$ будет подмножеством $\mathbb{R}^T$ .
@haoshuli: Действительно, $S'$ есть пространство (непрерывных линейных) функций на $S$ и поэтому его можно рассматривать как подмножество $\mathbb{R}^T$ с $T=S(\mathbb{R}^d)$ . Но с тех пор $T$ не поддается исчислению, это действительно плохое место для теории меры. Это приводит к искусственным усложнениям в виде неразличимых процессов, версий и модификаций процессов и т.д. $S'(\mathbb{R}^d)$ как измеримое подмножество $\mathbb{R}^T$ с $T=\mathbb{N}$ . Это связано с тем, что собственные функции гармонического осциллятора (функции Эрмита) обеспечивают безусловный базис Шаудера.

Математическая формулировка для фермионных интегралов по траекториям?

Хаошу ли

Qмеханик

Хаошу ли

Qмеханик

Хаошу ли

Ответы (1)

Абдельмалек Абдесселам

Хаошу ли

Абдельмалек Абдесселам

Интеграл расходящихся путей

Какие математические проблемы возникают при введении фермионов со спином 3/2?

Термин Черна-Саймонса: интегрирование фермионов с щелью в измерениях 2 + 1, связанных с внешним калибровочным полем.

Лагранжианы, объединяющие члены с 1 и 2 производными

Фермионный интеграл по путям на диске - Восстановление вакуумного состояния

Дельта-функционал в континуальном интеграле

Поля Грассмана по Пескину и Шредеру

Если интегралы по траекториям не определены, как они могут иметь физический смысл?

Почему интеграл по путям не является строгим?

Двухточечный зеленый для свободных полей Дирака