Почему интеграл по путям не является строгим?

Есть несколько моментов:

• Во-первых, для обычных самосопряженных гамильтонианов вида$H=-\Delta +V(x)$, с общей плотно определенной областью (и я очень педантичен здесь математически, вы можете просто проигнорировать это замечание) предельный процесс хорошо определен, и он придает смысл формальному выражению

  $\int_{q_a}^{q_b} \mathcal{D}p\mathcal{D}q\exp\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(p, q)\}$

  с помощью формулы произведения рысаков и соответствующего предела дискретных сумм. Таким образом, объект большую часть времени имеет значение, пока мы видим в нем предел. Тем не менее было бы уместно дать более прямую математическую интерпретацию как истинный интеграл по путям. Это позволит сделать обобщения и гибкость в его использовании.

• Оказывается, что подходящее понятие меры на пространстве путей можно дать, используя стохастические процессы, такие как броуновское движение (существует целая ветвь теории вероятностей, которая имеет дело с таким стохастическим интегрированием, называемым интегралом Ито). Однако, чтобы связать это понятие с нашей ситуацией, необходимо сделать одну поправку: фактор$-it$в квантовой эволюции должен быть заменен на$-\tau$(т.е. надо перейти на "мнимое время") . Это позволяет выделить правильные гауссовы множители, которые теперь исходят из свободной части гамильтониана, и распознать правильную меру Винера на пространстве путей. С математической точки зрения возврат к реальному времени возможен только в нескольких особых ситуациях, тем не менее, эта процедура дает удовлетворительный способ математически определить евклидовы интегралы по траекториям времени квантовой механики и теории поля (по крайней мере, свободных, а также в некоторых случаях). случай взаимодействия). В этом контексте есть недавние работы очень известных математиков, в первую очередь работа филдовского медали Мартина Хайрера (см., например , эту статью и эту , или недавнюю работу А. Джаффе ).это дает интересный обзор; более физический подход предложен Лоринци, Губинелли и Хиросимой среди прочих).

• Точная математическая формулировка интеграла по траекториям в КМ называется формулой Фейнмана-Каца, и точная формулировка такова:

  Позволять$V$быть действительнозначной функцией в$L^2(\mathbb{R}^3)+L^\infty(\mathbb{R}^3)$,$H=H_0+V$куда$H_0=-\Delta$(лапласиан). Тогда для любого$f\in L^2(\mathbb{R}^3)$, для любого$t\geq 0$:

  $$(e^{-tH}f)(x)=\int_\Omega f(\omega(t))e^{-\int_0^t V(\omega(s))ds}d\mu_x(\omega)\; ;$$ куда $\Omega$это набор путей (с подходящими конечными точками, я не хочу давать строгое определение), и $\mu_x$является соответствующей мерой Винера относительно $x\in\mathbb{R}^3$.

... Он выводит интеграл по путям и показывает, что он равен:

$$\int_{q_a}^{q_b}\mathcal{D}p\mathcal{D}q\exp\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(p, q)\}$$

Это мне ясно. Затем он сравнивает это с дискретной суммой

$$\sum_\limits{\text{paths}}\exp\left(\frac{iS}{\hbar}\right)$$ куда$S$является функционалом действия конкретного пути.

Вот теперь я запутался.

Здесь, я думаю, будет полезно провести аналогию с обычным интегралом Римана (который дает площадь под кривой).

Площадь A под кривой f(x) от x="a" до x="b" приблизительно пропорциональна сумме

$$A\sim\sum_i f(x_i)\;,$$ где$x_i$выбраны так, чтобы они были разнесены от a до b, скажем, с интервалом «h». Чем больше количество$x_i$мы выбираем лучшее приближение, которое мы получаем. Однако мы должны ввести «меру», чтобы сумма сходилась разумно. В случае интеграла Римана этой мерой является просто «h». $$A=\lim_{h\to 0}h\sum_i f(x_i)\;,$$

По аналогии, в теории интеграла по путям квантовой механики у нас есть ядро ​​​​«K», чтобы перейти от «a» к «b», пропорциональное сумме путей

$$K\sim\sum_\limits{\text{paths}}\exp\left(\frac{iS_{\tt path}}{\hbar}\right)$$

В этом случае также нет смысла рассматривать только сумму, так как она не имеет разумного предела по мере добавления все новых и новых путей. Нам нужно ввести некоторую меру, чтобы сумма приблизилась к разумному пределу. Мы сделали это для интеграла Римана, просто умножив его на «h». Но в целом не существует такого простого процесса для интеграла по путям, который включает в себя гораздо более высокий порядок бесконечности числа путей, с которыми нужно бороться ...

Цитируя Фейнмана и Хиббса: «К сожалению, определение такого нормализующего фактора кажется очень сложной задачей, и мы не знаем, как это сделать в общих чертах». -- Интегралы по траекториям и квантовая механика, с. 33

В случае свободной частицы в одном измерении Фейнман и Хиббс показывают, что нормировочный множитель равен

$${({\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon}})}^{N/2};\,$$ где есть N шагов размера$\epsilon$из$t_a$к$t_b$, и N-1 интегрирований по промежуточным точкам между$x_a$а также$x_b$.

Опять же, цитируя Фейнмана и Хиббса относительно этих мер нормализации: «... мы знаем, как дать определение всем ситуациям, которые до сих пор кажутся имеющими практическую ценность».

Значит, тебе должно стать легче...