Интеграл расходящихся путей

Question

Интеграл расходящихся путей

пользователь 28355

Что означает наличие расходящегося интеграла по путям в КТП?

Более конкретно, если

\int е^{я С [ф] / ℏ} Д ф (т) "=" \infty

$\int e^{i S[\phi]/\hbar} D\phi (t)=\infty$ Что это означает для КТП поля

ϕ

$\phi$ ?

Поле $\phi$ имеет действие

С [ф] "=" \int (\frac{1}{2} \partial_{мю} ф \partial^{мю} ф - В (ф)) г в о л

$S[\phi]=\int\left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-V(\phi)\right)\mbox{d}vol$ где мы используем подпись Минковского

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ .

Алекс Нельсон

Какие действия?

Алекс Нельсон

Причина, по которой я спрашиваю о действии, заключается в следующем: (а) вы можете иметь дело с «тривиальной бесконечностью» из объема калибровочной орбиты; (b) это может быть допустимая бесконечность [например, действие может быть неограниченным снизу после вращения Вика], где вам нужно будет использовать решетчатые приближения или эффективную теорию поля; (c) иногда это могли быть «призраки ушедших количеств» при взятии континуального предела конечных разностей. Не могу сказать, что, пока мы не увидим действие ...

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v3): Каков потенциал

V

$V$ ?

Алекс Нельсон

Предположительно, это любое взаимодействие

V (ϕ) O (ϕ^{3})

$V(\phi)~\mathcal{O}(\phi^3)$ . Я на работе и не могу ответить (возможно, @Qmechanic или кто-то еще даст связный/недлинный ответ в Твиттере). В принципе, вы считаете

\int \exp (S_{0} [ϕ] + \int V (ϕ) d^{n} x) D ϕ = \int \sum_{k = 0} (\int V (ϕ) d^{n} x)^{k} \exp (S_{0} [ϕ]) D ϕ

$\int\exp(S_{0}[\phi]+\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)\, D\phi = \int\sum_{k=0}(\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)^{k}\exp(S_{0}[\phi])\,D\phi$ затем обрезать ряд после пары членов, иначе он расходится, и вы получите бесконечности.

пользователь 28355

@AlexNelson Я понимаю это. Однако что это означает физически для расходящегося интеграла по траекториям?

Ответы (1)

Интеграл расходящихся путей

Причина, по которой я спрашиваю о действии, заключается в следующем: (а) вы можете иметь дело с «тривиальной бесконечностью» из объема калибровочной орбиты; (b) это может быть допустимая бесконечность [например, действие может быть неограниченным снизу после вращения Вика], где вам нужно будет использовать решетчатые приближения или эффективную теорию поля; (c) иногда это могли быть «призраки ушедших количеств» при взятии континуального предела конечных разностей. Не могу сказать, что, пока мы не увидим действие ...
Комментарий к вопросу (v3): Каков потенциал $V$ ?
Предположительно, это любое взаимодействие $V(\phi)~\mathcal{O}(\phi^3)$ . Я на работе и не могу ответить (возможно, @Qmechanic или кто-то еще даст связный/недлинный ответ в Твиттере). В принципе, вы считаете $\int\exp(S_{0}[\phi]+\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)\, D\phi = \int\sum_{k=0}(\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)^{k}\exp(S_{0}[\phi])\,D\phi$ затем обрезать ряд после пары членов, иначе он расходится, и вы получите бесконечности.
@AlexNelson Я понимаю это. Однако что это означает физически для расходящегося интеграла по траекториям?

Сувик · Answer 1

Если сам интеграл по путям расходится, это означает, что расходится и vev. Это само по себе плохо, потому что тогда любое произвольное $n$ -точечная функция обращается в нуль. Напомним, что для вычисления корреляционных функций мы добавляем $J(x)\phi(x)$ к действию и рассчитать

\frac{{дельта}^{н}}{дельта Дж ({Икс}_{1}) \dots дельта Дж ({Икс}_{н})} \int е^{я С [ф] / ℏ + Дж (Икс) ф (Икс)} Д ф "=" ⟨ ф ({Икс}_{1}) \dots ф ({Икс}_{н}) ⟩

$\frac{\delta^n}{\delta J(x_1)\ldots \delta J(x_n)} \int e^{i S[\phi]/\hbar + J(x)\phi(x)}\mathcal{D}\phi = \langle\phi(x_1)\ldots \phi(x_n)\rangle$ который нормируется по vev. Таким образом, вы не сможете вычислить ничего толкового.

например, vev может расходиться, когда при повороте фитиля к евклидову времени действие может быть неограниченным снизу ( как указывает @Alex) - это обычно происходит, когда потенциал плохой.

Интеграл расходящихся путей

пользователь 28355

Алекс Нельсон

Алекс Нельсон

Qмеханик

Алекс Нельсон

пользователь 28355

Ответы (1)

Сувик

Лагранжианы, объединяющие члены с 1 и 2 производными

Дельта-функционал в континуальном интеграле

Если интегралы по траекториям не определены, как они могут иметь физический смысл?

Почему интеграл по путям не является строгим?

Интуиция для интегралов пути и как их оценить

Существуют ли строгие конструкции континуального интеграла для решеточной КТП на бесконечной решетке?

Строгость в квантовой теории поля

Интеграл по путям в QM против QFT

Математическая формулировка для фермионных интегралов по траекториям?

Мера интеграла Фейнмана по траекториям