Математическая вероятностная интерпретация амплитуды вероятности

Question

Математическая вероятностная интерпретация амплитуды вероятности

Джастин Соломон

Предупреждаю: у меня "прикладная математика" и почти нет знаний физики. Тем не менее, вот мой вопрос:

Я рассматриваю возможность использования функций амплитуды вероятности для представления распределения вероятностей на поверхностях. С моей точки зрения, функция амплитуды вероятности — это функция $\psi:\Sigma\rightarrow\mathbb{C}$ удовлетворяющий $\int_\Sigma |\psi|^2=1$ для какого-то домена $\Sigma$ (например, поверхность или часть $\mathbb{R}^n$ ) -- очевидно, это одни из основных объектов, которыми манипулируют в квантовой физике! Другими словами, $\psi$ сложная функция такая, что $|\psi|^2$ есть функция плотности вероятности на $\Sigma$ .

Можно ли с этой чисто вероятностной точки зрения понять, почему множественные $\psi$ могут представлять ту же плотность вероятности $|\psi|^2$ ? Какова наиболее общая физическая интерпретация?

То есть, если я запишу любую функцию $\gamma:\Sigma\rightarrow\mathbb{C}$ с $|\gamma(x)|=1\ \forall x\in\Sigma$ , затем $|\psi\gamma|^2=|\psi|^2|\gamma|^2=|\psi|^2$ , и поэтому $\psi$ и $\psi\gamma$ представляют одно и то же распределение вероятностей на $\Sigma$ . Так почему же эта избыточность полезна с математической точки зрения?

Митчелл Портер

Если начать с волновой функции

ψ γ

$\psi\gamma$ , и развить его в соответствии с уравнением Шредингера, связанное с ним распределение вероятностей будет развиваться иначе, чем то, которое было получено, просто начав с

ψ

$\psi$ , и эволюционируя его по уравнению Шредингера. Так

ψ

$\psi$ и

ψ γ

$\psi\gamma$ физически разные состояния. (Единственное исключение, если

γ (x)

$\gamma(x)$ одинакова для всех

x

$x$ .) Что касается того, почему физика работает именно так, никто не знает.

Джастин Соломон

Если эти две волновые функции развиваются по-разному, они должны иметь разный смысл, несмотря на то, что обе они порождают одно и то же распределение.

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ . Думаю, я пытаюсь понять значение этой дополнительной информации и посмотреть, есть ли чисто математическая причина, по которой она должна быть там, вместо того, чтобы прибегать к эксперименту или конкретному физическому примеру или установке.

Арнольд Ноймайер

Учитывая ваш опыт, вы могли быть знакомы с кватернионами. По сути, это просто волновые функции для односпиновой или двухуровневой системы. Для описания состояния нужны все комплексные степени свободы. См. en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere и en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration.

Ответы (2)

Математическая вероятностная интерпретация амплитуды вероятности

Если начать с волновой функции $\psi\gamma$ , и развить его в соответствии с уравнением Шредингера, связанное с ним распределение вероятностей будет развиваться иначе, чем то, которое было получено, просто начав с $\psi$ , и эволюционируя его по уравнению Шредингера. Так $\psi$ и $\psi\gamma$ физически разные состояния. (Единственное исключение, если $\gamma(x)$ одинакова для всех $x$ .) Что касается того, почему физика работает именно так, никто не знает.
Если эти две волновые функции развиваются по-разному, они должны иметь разный смысл, несмотря на то, что обе они порождают одно и то же распределение. $|\psi|^2$ . Думаю, я пытаюсь понять значение этой дополнительной информации и посмотреть, есть ли чисто математическая причина, по которой она должна быть там, вместо того, чтобы прибегать к эксперименту или конкретному физическому примеру или установке.
Учитывая ваш опыт, вы могли быть знакомы с кватернионами. По сути, это просто волновые функции для односпиновой или двухуровневой системы. Для описания состояния нужны все комплексные степени свободы. См. en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere и en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration.

Арнольд Ноймайер · Answer 1

Различные волновые функции с одним и тем же $|\psi(x)|^2$ представляют разные физические состояния (если только они не пропорциональны). Различные состояния означают, что каждый получает разные измеримые результаты по крайней мере для одного вида измерений.

Одинаковый $|\psi(x)|^2$ дает ту же плотность вероятности для измерений положения (только), но обычно не для измерений других наблюдаемых величин, таких как импульс. Для плотности вероятности импульса учитываются абсолютные квадраты преобразования Фурье, и это обычно отличается, если только $|\psi(x)|^2$ одинаковы.

Математическое содержание волновой функции следующее (из которого следует вышеизложенное): скалярный продукт $\psi$ с $A\psi$ дает ожидаемое значение оператора $A$ для системы в состоянии $\psi$ . Например, если вы возьмете $A$ быть умножением на характеристическую функцию области в $R^3$ вы получаете вероятность того, что вы находитесь в этом регионе. Оператор положения — это просто умножение на $x$ , а оператор импульса кратен дифференцированию.

Чтобы углубиться, попробуйте мою онлайн-книгу http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 , написанную для математиков без каких-либо базовых знаний в области физики.

Итак, функция $\psi$ каким-то образом кодирует положение и скорость/импульс? Я понимаю, что это разные состояния, но не понимаю, как «читать» разные состояния. Что мы знаем о частице $x$ относительно частицы в $y$ если $\psi(x)=1$ и $\psi(y)=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ ? Есть ли математическое объяснение происходящему?
@JustinSolomon: Ничего. Волновая функция $L^2$ , что означает, что он определен только с точностью до произвольных изменений на множестве нулевой меры. Тебе нужно иметь $\psi(x)$ это целая окрестность точки для вывода минимальной информации.
Я добавил математическое объяснение к своему ответу.
Спасибо, что разместили ссылку на вашу книгу — она выглядит ближе к языку, на котором я мог бы говорить, поэтому я скачал ее и посмотрю сегодня в самолете!

Н. Дева · Answer 2

Избыточность полезна, потому что, по-видимому, фазы имеют физический смысл, а относительные фазы действительно влияют на вероятности в некоторых ситуациях. Например, рассмотрим упрощенный эксперимент с двумя щелями. У нас есть излучатель фотонов, который выпускает фотон в направлении двух щелей. За двумя щелями находится детектор, который либо сработает, либо не сработает. (Если он не срабатывает, мы думаем, что фотон «промахнулся» через детектор и был поглощен чем-то другим.) У нас также есть возможность попытаться определить, через какую из щелей прошел фотон, или не пытаться и сделать это.

Позволять $E$ означает «излучается фотон», $D$ стенд для "детектор пожаров" $S_i$ расшифровывается как «обнаружен фотон, проходящий через щель $i$ Если мы попытаемся определить, через какую щель прошел фотон, вероятность срабатывания детектора равна

п (Д | Е) "=" п (С_{1} | Е) п (Д | С_{1}) + п (С_{2} | Е) п (Д | С_{2}),

$p(D|E) = p(S_1|E)p(D|S_1) + p(S_2|E)p(D|S_2),$ как и следовало ожидать от элементарной теории вероятностей. Если мы хотим, мы можем формально определить комплексное число

a (X | Y)

$a(X|Y)$ для каждой пары событий так, что

p (X | Y) = | a (X | Y) |^{2} .

$p(X|Y) = |a(X|Y)|^2.$ В этом определении есть некоторая избыточность, потому что любой выбор фазы дает одинаковую вероятность. Теперь у нас есть

п (Д | Е) "=" | а (С_{1} | Е) а (Д | С_{1}) |^{2} + | а (С_{2} | Е) а (Д | С_{2}) |^{2} .

$p(D|E) = |a(S_1|E)a(D|S_1)|^2 + |a(S_2|E)a(D|S_2)|^2.$ Обратите внимание, что это совершенно нестандартная запись, которую вы нигде не найдете, но это вполне разумный способ выразить формализм интеграла по путям для этого типа упрощенной системы.

Если мы не пытаемся определить, через какую щель прошел фотон, чтобы он оставался изолированным на протяжении всего своего путешествия, тогда все немного по-другому. Теперь оказывается, что вместо приведенного выше выражения имеем

п (Д | Е) "=" | а (С_{1} | Е) а (Д | С_{1}) + а (С_{2} | Е) а (Д | С_{2}) |^{2},

$p(D|E) = |a(S_1|E)a(D|S_1) + a(S_2|E)a(D|S_2)|^2,$ для определенного выбора чисел $a(S_i|E)$ и $a(D|S_i)$ определено выше . Обратите внимание, что это может быть больше или меньше, чем "классический"

p (D | E)

$p(D|E)$ , в зависимости от относительных фаз

a (S_{1} | E) a (D | S_{1})

$a(S_1|E)a(D|S_1)$ и

a (S_{2} | E) a (D | S_{2})

$a(S_2|E)a(D|S_2)$ . Следовательно, разные фазы приводят к разным физическим предсказаниям, и часть силы квантовой теории заключается в том, что она действительно говорит вам об этих относительных фазах.

Этот аргумент показывает, что должна существовать какая-то физическая интерпретация фаз, но он не говорит вам, какова эта физическая интерпретация на самом деле . Боюсь, я не знаю ответа на этот вопрос.

Это очень четкое объяснение некоторых явлений, которые мне было трудно понять — спасибо! Как вы упомянули, второе и третье уравнения для $p(D|E)$ дают разные значения, третье является результатом того, что не пытались обнаружить щель. Есть ли вероятностное объяснение, которое здесь скрывается? Например, что второе уравнение на самом деле каким-то образом обусловлено сделанным наблюдением, что добавляет или устраняет некоторую степень вероятностной независимости?
Обратите внимание, что относительные фазы имеют значение, а абсолютные — нет. Однако это не единственное место в физике, где можно выбрать произвольную отправную точку, и люди обычно не беспокоятся над вопросом «Почему?». этого.
Но, надеюсь, есть хотя бы объяснение относительной фазы?
@JustinSolomon да, я думаю, первое и второе выражения действительно должны быть для $p(D|E,M)$ и третий для $p(D|E,\neg M)$ , где $M$ — логическое значение, которое истинно, если вы измерили, через какую щель прошел фотон, и ложно, если нет. Тогда третье выражение на самом деле $п (Д | Е, \neg М) "=" | а (С_{1} | Е, М) а (Д | С_{1}, М) + а (С_{2} | Е, М) а (Д | С_{2}, М) |^{2},$ $p(D|E,\neg M)= |a(S_1|E,M)a(D|S_1,M) +a(S_2|E,M)a(D|S_2, M)|^2,$ с правым условием на $M$ скорее, чем $\neg M$ указать, что $a$ Сами по себе не зависят от того, было ли произведено измерение.
@JustinSolomon с точки зрения объяснения, проблема в том, что историческое развитие QM в основном принимало форму людей, делающих дикие догадки о том, как выполнять вычисления, которые каким-то образом быстро сходились к очень успешному формализму, который никто не знал, как правильно интерпретировать. Отношение большинства физиков сегодня либо "заткнись и вычисляй" (т.е. не дело физика заботиться о том, что на самом деле означают уравнения), либо слова о том, что интерпретация не нужна и формализм КМ уже содержит все необходимое знать о физике.
Не все согласны с одной из вышеперечисленных позиций (я, конечно, не согласен), и интерпретация КМ сегодня представляет собой небольшую, но очень активную область. Однако это действительно сложно, и нет ничего лучше консенсуса.
Интересный! Из-за этого нам, прикладным математическим типам, довольно сложно оценить, полезно ли это для наших собственных исследований :-). Интересно, есть ли кто-нибудь, кто дает введение в квантовую физику чисто вероятностно, вроде как в духе этого документа: scottaaronson.com/democritus/lec9.html
@JustinSolomon узнал многое из того, что знаю я, из курса Леонарда Сасскинда по квантовым запутанностям , доступного на YouTube. Это предполагает меньшее математическое образование, чем у вас есть, но оно довольно хорошо подходит для концентрации внимания на математической структуре, а не на физике, и может быть тем, что вы ищете.

Математическая вероятностная интерпретация амплитуды вероятности

Джастин Соломон

Митчелл Портер

Джастин Соломон

Арнольд Ноймайер

Ответы (2)

Арнольд Ноймайер

Джастин Соломон

Арнольд Ноймайер

Арнольд Ноймайер

Джастин Соломон

Н. Дева

Джастин Соломон

dmckee --- котенок экс-модератор

Джастин Соломон

Н. Дева

Н. Дева

Н. Дева

Джастин Соломон

Н. Дева

Диффузия амплитуд вероятности

Можно ли построить логическую теорию в КМ на основе квантовой логики? [закрыто]

Независимые системы и лагранжианы

Очевидный парадокс в статистической механике

Моделирование квантовой сети гармонических осцилляторов

Каким было бы правильное распределение для моделирования числа частиц в состоянии в каноническом ансамбле?

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Разница в статистической сумме классического и квантового идеального газа

Об определении величины ожидания в квантовой механике

Что такое энтропия запутанности? и все эти истории о подсчете [закрыто]