Разница в статистической сумме классического и квантового идеального газа

Во-первых, я прочитал этот вопрос: что подразумевается под термином «одночастичное состояние»?

В моей книге (Мандл Ф. Статистическая физика) есть анализ, который привел меня в замешательство.

В главе 7 книги анализируется классический идеальный газ. Доказано, что

Z общий "=" 1 Н ! ( Z 1 ) Н
и что
Z 1 "=" Z тр Z инт
где Z общий - полная статистическая сумма системы и Z тр и Z инт - транзакционная и внутренняя функции распределения подсистемы в каноническом ансамбле соответственно. Кроме того, из главы 2 мы знаем, что статистическая сумма в общем случае имеет вид:
Z 1 г е н е р а л "=" ∑ р г ( ϵ р ) опыт ⁡ [ − ϵ р к Т ] . ( 1 )

При определении классического идеального газа мы имеем, что существуют энергии

ϵ 1 ≤ ϵ 2 ≤ ϵ 3 … ≤ ϵ р
соответствующий дискретному набору квантовых состояний, отмеченных 1 , 2 , 3 … р где может существовать только уникальная молекула. Затем мы определяем состояние всего газа, определяя каталог молекул каждого конкретного состояния, определяющего н р как оккупационный номер штата р .

Вопрос :

В главе 9 можно найти выражение статистической суммы идеального квантового газа:

Z малыш "=" ∑ н 1 , н 2 … опыт ⁡ ( − ∑ р н р ϵ р к Т )                 ( 2 )
и это:
Е ( н 1 , н 2 , . . . ) "=" ∑ р н р ϵ р
и
Н "=" ∑ р н р .

Итак, почему эта разница между (1) и (2) экспоненциальна? Почему бы не использовать сумму чисел занятости и в (1)? Хотя, если я приму эти отношения как должное, я смогу доказать некоторые вещи, но я не понимаю, почему функции распределения в этом анализе различны. Я имею в виду, чтобы было ясно, почему в показателе степени (2) стоит сумма, а не (1) или наоборот? Если речь идет о неразличимых частицах в КМ или о том, что н р число во втором отношении не считается постоянным, а в одном по какой-то причине оно есть, может кто-нибудь уточнить?

Кроме того, мне кажется, я не совсем понимаю значение уникальной молекулы, может быть, это что-то, что относится к одночастичному состоянию, которое, как я понимаю, изучается в квантовом газе, в отличие от классического, где изучают частицу. определить статистическое поведение системы.

Спасибо.

В вопросе 1 вы определяете классический идеальный газ, описывая его в терминах дискретных квантовых состояний. Так что получается, что классика и квант перемешаны...
Привет @roygvib Да. Я знаю. Я думаю, для упрощения автор квантует энергетические состояния. Во всяком случае, это анализ в книге. В главе 7, после упомянутого анализа, он анализирует реальные газы, и там все более реалистично, я имею в виду, что он использует гамильтониан и фазовое пространство.
@roygvib Также обратите внимание, что в главе 7 проводится анализ в фазовом пространстве с использованием плотности состояний для импульса и интегрированием — он превращает дискретный спектр в континуум. Отсюда автор выводит энтропию классического идеального газа с той проблемой, что когда температура стремится к нулю, энтропия стремится к бесконечности. Это как раз связано с тем, что плотность состояний не может сохраняться при импульсе, равном нулю. Как я уже сказал, он квантовал энергетические состояния.
Я предполагаю, что ваше замешательство частично связано с тем фактом, что Z_1 - это функция распределения одной частицы, а Z_tot - функция распределения многих частиц; они описывают разное количество частиц. Еще одна путаница заключается в их обозначениях. В уравнении (1) энергия представлена ​​заглавной буквой E_r, а в вопросе 1 энергия написана строчными буквами (e_r). Это одно и то же в учебнике? Также обратите внимание, что в уравнении (1) g(E_r) учитывает количество состояний, которые имеют одинаковую энергию E_r.
@roygvib Я внес правку. E в (1) должно быть ε. Спасибо за замечание.
Я действительно хочу ответить на этот вопрос, но я не могу понять, о чем вы спрашиваете. Я думаю, что если бы этот пост был разбит на несколько более мелких и более целенаправленных вопросов, каждый из них получил бы лучший ответ, чем здесь.
Например, эту фразу: «Я понимаю, что здесь что-то играет с единым государственным значением...» трудно понять. Можно поподробнее, что вам не понятно?
@DanielSank Во-первых, спасибо за ваш комментарий. Я нахожусь в положении, когда я действительно думаю удалить сообщение и перефразировать его, чтобы разделить вопросы - отчасти потому, что я тоже в замешательстве. Если можно, скажите, по второму вопросу, почему, по-вашему, термин ∑ н р е р входит в статистическую сумму отношения 2, но не входит в 1 (классический газ)? Попробую отредактировать свой пост. Спасибо.
@DanielSank Сделал правку. Если сообщение все еще неясно или «запутанно», если можно так сказать, прокомментируйте, и я посмотрю, что я могу сделать. Но я думаю, что сейчас есть только один главный вопрос и мысль в конце чего-то, что меня смутило - может быть, я просто неправильно понял все одночастичное состояние. Спасибо.
Большой. Я определенно могу помочь с этим. Во-первых, пожалуйста, взгляните на этот ответ . Большая часть того, что я написал бы здесь в качестве ответа, является просто переформулировкой того, что я написал там. После того, как вы прочитаете это, это может повлиять на то, как вы сформулируете этот вопрос.
@DanielSank Хороший ответ. Если я не скажу, что сумма ∑ ε р н р существуют в (2) из-за неразличимости частиц и, возможно, из-за того, что частицы каждого состояния не являются фиксированным числом, тогда я должен спросить, почему эта проблема решается в классическом газе путем умножения на 1 Н ! а в квантовом газе это не так. Это потому, что классический газ имеет фиксированное число частиц, а квант - нет?
И также, в отношении ответа, можем ли мы сказать, что статистическая физика может рассматриваться как анализ статистических флуктуаций квантового поля?
Определенно не думайте о стат-механике как о флуктуациях квантового поля. Это неправильно. Квантовые «флуктуации» (очень -очень плохая фраза) существуют помимо статистической физики. О том, где 1 / Н ! исходит из, см. этот другой пост .

Ответы (1)

Хорошо, это на самом деле довольно просто, но я не знаю, с чего начать.

Обзор: Что такое функция распределения?

Давайте сделаем шаг назад и выведем то, о чем мы говорим: что такое статистическая сумма? Итак, у нас есть система, которая принимает набор энергетических уровней с вырождениями. { ( Е я , г я ) } .

Мы знаем, что ваша система с находится в контакте с резервуаром р , но вместе они скреплены в микроканонический ансамбль с С "=" С с + С р , U "=" U с + U р . Теперь, когда резервуар большой и сложный, его внутренние степени свободы над (по отношению к нему) небольшими изменениями в U р можно линеаризовать как С р ( U − U с ) "=" С р ( U ) − U с / Т , где Т - его (эффективно постоянная) термодинамическая температура Т − 1 "=" ( ∂ С р ∂ U р ) Н р ,   В р . Поэтому общая энтропия пластовой системы в состоянии я является С р ( я ) "=" С 0 − Е я / Т для некоторых С 0 . Но мы знаем, что определение энтропии С "=" к Б п ⁡ Вт где Вт является множественностью состояния, поэтому, учитывая вырождение, общая множественность состояния просто:

Вт я "=" г я   Вт р ( я ) "=" г я   е С 0 / к Б − Е я / ( к Б Т )
и поэтому вероятность
п я "=" Вт я ∑ к Вт к "=" г я   е − Е я / ( к Б Т ) Z
для некоторой константы Z не зависит от индекса состояния я , включающий оба ∑ к Вт к и е С 0 / к Б . Поскольку сумма вероятностей равна 1, мы можем сказать, что:
Z "=" ∑ я г я   опыт ⁡ ( − Е я к Б Т ) .
Если система непрерывна, нам нужна плотность состояний г ( Е ) так что число состояний с энергиями между Е и Е + д Е примерно г ( Е )   д Е , то мы преобразуем вышесказанное в интеграл.

От частиц к сложным системам

Хорошо, теперь, когда мы оба пришли к единому мнению о том, что это такое , что произойдет, если ваша система состоит из нескольких частей ? Затем каждый я теперь маркирует конфигурацию частей . Это потенциально усложняется! Первое, что легко сделать, это избавиться от вырождений. г я и вместо этого хранить все свои энергии в мультимножестве : это множество, которое может содержать одно и то же число несколько раз. Это может сбивать с толку, поэтому давайте формально поступим иначе.

Теперь поговорим о наборе С "=" { с я } где с я это какой-то математический объект, сообщающий мне конфигурацию состояния я , и мы будем считать, что это различно для каждого я , и теперь мы должны перейти от множества Е я к функции Е ( с я ) что дает энергию конфигурации частей. Теперь как побочный эффект г я "=" 1 для каждого я поскольку каждая конфигурация обрабатывается независимо, но результат один и тот же:

Z "=" ∑ я опыт ⁡ ( − Е ( с я ) к Б Т ) .

Не взаимодействующие системы

Если вы со мной до сих пор, есть еще один шаг! Какова форма _ с я и Е ( с ) ?

Ну для системы Н идентичных невзаимодействующих частиц, мы имеем одночастичные энергии Е я от ранее, а полная энергия представляет собой сумму энергий, для которых состояния заняты. То есть идеальная форма для с я становится оккупационной функцией , с я "=" { н я , к } что говорит нам, в конфигурации я , сколько частиц находится в состоянии с энергией Е к . Тогда энергия состояния:

Е ( с я ) "=" ∑ к н я , к   Е к ,
следовательно,
Z "=" ∑ я опыт ⁡ ( − ∑ к н я , к   Е к к Б Т )
Вот откуда берется общая сумма: теперь у нас сложное многочастичное состояние , но пока сами частицы не взаимодействуют друг с другом , мы можем использовать сумму энергий отдельных частиц , чтобы получить общую энергию.

Спасибо за ответ. Таким образом, сумма наверху исходит из того, что мы приравняли вырождения к 1 и сделали энергию функцией c, тогда в невзаимодействующих частицах становится число заполнения н р ?
И мы делаем это, потому что теперь мы хотим изучать состояние, а не частицу — мы анализируем систему, рассматривая состояния, а не частицу».
@ConstantineBlack Вырождение, равное 1, не имеет большого значения, это просто следствие «очевидного» способа обращения с системой. Сумма наверху действительно исходит из того факта, что состояние теперь состоит из невзаимодействующих частиц: энергия состояния множества невзаимодействующих частиц представляет собой сумму энергий одной частицы.
Разница в статистической сумме классического и квантового идеального газа
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v