Математический формализм, показывающий, что атом отбрасывает небольшую тень в поле фотонов, которые его освещают.

Этот вопрос касается взаимосвязи между поглощением фотонов и пространственным режимом света. В этом вопросе у меня есть некоторая физическая интуиция, которую, как я думаю, я понимаю и которая подтверждается экспериментом, который разбросан повсюду. Тем не менее, математический формализм, с которым я столкнулся для решения данного вопроса, кажется, не в состоянии описать интересующую меня физическую ситуацию, и этот формализм также поднимает для меня вопросы причинности. Из-за всего этого я провожу большую часть текста в этом посте, излагая математический формализм, как я его понимаю, в надежде найти дальнейшее понимание этого формализма или указать на более сложный формализм, который может решить мои проблемы.

Фон

В квантовой оптике электрическое поле можно квантовать как

Е ^ ( Икс , т ) "=" я ℏ 2 ϵ 0 В ∑ к , с ю к ( ф к , с ( Икс ) а ^ к , с ( т ) − ф к , с * ( Икс ) а ^ к , с † ( т ) )

Жирные символы обозначают векторные величины. Это уравнение для квантового электрического поля в пространстве и времени. Суммируем по всем волновым векторам к которые имеют, по уравнению Гельмгольца, связанные временные частоты ю к "=" с | к | . с является индексом поляризации и принимает значения 1 или 2.

ф к , с ( Икс ) — безразмерная функция пространственной моды со значениями вектора, которая определяется граничными условиями*. Например, обычно, если мы рассматриваем квантование в ящике объема В функции режима задаются выражением

ф к , с ( Икс ) "=" ϵ к , с е я к ⋅ Икс

Здесь ϵ с — вектор поляризации. Обратите внимание, что это только один возможный выбор для полного набора режимов, возникающих в результате решения уравнения Гельмгольца. ф к , с ( Икс ) также могут быть, например, моды Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса, которые могут быть полезны для рассмотрения этой проблемы.

Громкость моды или громкость квантования связана с пространственными модами как **

∫ д Икс ф к , с ( Икс ) ⋅ ф к ′ , с ′ * ( Икс ) "=" дельта к к ′ дельта с с ′ В

The а ^ к , с ( т ) и а ^ к , с † ( т ) являются бозонными, фотонными операторами аннигиляции и рождения. Эти операторы связаны с количеством фотонов, занимающих одну моду. Мы видим, что квантово-статистические свойства Е ^ зависят от квантово-статистических свойств а к , с

Если мы уберем шляпы из этого выражения, мы увидим, что а к , с ( т ) – зависящие от времени коэффициенты пространственно-модового разложения электрического поля. Вернув шапки обратно, мы видим, что эти модовые коэффициенты, а ^ к , с ( т ) теперь являются квантовыми случайными величинами, а не фиксированными амплитудами.

Сияющий лазер на экране

Сначала мысленный эксперимент. Предположим, у нас есть источник света, который излучает, скажем, гауссовский луч***, сфокусированный до размера пятна. ж 0 в определенном месте. Предположим, мы можем произвольно настроить мощность этого источника. Предположим ради аргумента, что он выводит когерентные состояния света. В одном режиме (высокой мощности) выход можно настроить так, чтобы поток когерентного состояния состоял из множества фотонов в секунду (как в обычном лазере, о котором мы думаем), или в другом режиме (малой мощности) его можно настроить так что выход меньше одного фотона в секунду.

В одном эксперименте мы поместили экран в месте фокуса и направили на экран лазерный луч высокой мощности. Конечно, мы увидим на экране пятно гауссовой формы.

В другом эксперименте мы поместили экран в то же место в фокусе, но теперь уменьшили мощность лазера. Теперь, если мы посмотрим на экран, мы не увидим ярко освещенного пятна. Что мы увидим, так это то, что с течением времени мы будем видеть, как маленькие**** пятна появляются на экране одно за другим (временной интервал между появлением пятен будет статистическим, но связанным с потоком фотонов). Если мы будем отслеживать все пятна, которые мы видим, то со временем распределение пятен будет выглядеть точно так же, как пятно Гаусса, которое мы получили для большого увеличения.

Такого рода история знакома тем, кто знаком с экспериментом Янга с двумя щелями.

Теперь представьте, что мы поместили небольшой диск перед экраном, скажем, на несколько оптических длин перед экраном. В случае высокой мощности мы просто увидим тень диска. В случае малой мощности мы увидим тень диска, когда посмотрим на распределение ярких пятен.

Тень одиночного атома

Теперь представьте, что вместо диска перед экраном мы помещаем одиночный атом, имеющий переход, резонансный с частотой лазерного луча. Атом может поглощать немного света и, таким образом, отбрасывать тень. Вопрос примерно такой:

1) Как выглядит тень? На самом деле я знаю ответ на этот вопрос благодаря Absorbment Imaging of Single Atom . Ответ в том, что небольшая тень размера ≈ λ ≈ 1   мю м появится на экране. Обратите внимание, что ж 0 ≫ λ .

2) Мой вопрос: как описать в формализме, изложенном в разделе фона?

Мы можем рассмотреть (дипольную)***** связь между атомным светом вида ЧАС "=" − Е ⋅ д и мы увидим что-то вроде

ЧАС ^ А Ф "=" ∑ к , с ℏ г к , с о ^ † а ^ к , с + ℏ г к , с * о ^ а ^ к , с †

Здесь о ^ "=" | г ⟩ ⟨ Е | оператор опускания атома, переводящий атом из возбужденного состояния в основное. Оператор связи для каждой моды определяется выражением

г к , с "=" ю 2 ℏ ϵ 0 В д к , с г Е

Здесь

д к , с г Е "=" ⟨ г | е Икс ⋅ ϵ к , с | Е ⟩

е это заряд электрона. Отметим, что если мы рассмотрим, например, с → п При переходе атома на самом деле существует несколько возбужденных состояний, что делает связь атома с различными оптическими модами изотропной. То есть общая связь одинакова для света, идущего со всех сторон.

Я думаю, что ответ на вопрос о том, как формируется тень, заключается в том, что атом предпочтительно поглощает моды с определенными волновыми векторами, но не с другими. В результате модовое разложение света «после» атома отличается от разложения «до» атома. Это означает, что оптическое поле будет выглядеть по-другому, т.е. в нем может быть тень. однако тот факт, что связь изотропна, похоже, сводит на нет эту надежду.

Сам вопрос

А) Если связь света со всеми пространственными модами одинакова, то не будет ли влияние атома на поле подавлять передаваемую амплитуду ВСЕГО оптического рисунка на одинаковую величину? Таким образом затемняя весь рисунок, а не создавая тень?

B) Конечно, если предложение в A верно (я так не думаю, особенно учитывая приведенную выше ссылку), то, по-видимому, возникают серьезные проблемы с локальностью. Как присутствие атома в центре гауссова луча может повлиять на интенсивность пропускания вблизи края луча, когда они разделены многими длинами волн?

C) Это ставит передо мной общий вопрос о локальности взаимодействий атома и света. Смотрел таким образом а ^ к , с - квантовая амплитуда всей расширенной нелокальной пространственной моды с пространственной структурой ф к , с ( Икс ) . Если один фотон испускается или поглощается атомом в этом поле, то кажется, что атом делает что-то в высшей степени нелокальное в этом математическом описании. То есть атом занимает очень-очень малый субволновой объем поля, но в этом математическом описании он может мгновенно влиять на амплитуду поля на расстоянии миллионов длин волн, поглощая или испуская фотон. Существует ли более сложный математический аппарат для рассмотрения этой физической ситуации, который прояснил бы эти вопросы.

Сноски

* Граничные условия предполагаются конечными, как большой, но конечный ящик. Я не знаю точно, как относиться к тому, о чем я спрашиваю, в случае бесконечного пространства, и я думаю, что это может быть связано с ответом на мой вопрос.

**Обратите внимание, что возможны и другие нормализации громкости режима, но я использую именно эту. Обратите внимание, что в этой настройке все режимы имеют одинаковую громкость режима.

***Для дальнейшего, хотя свет является гауссовской модой, я буду рассматривать ф к , с ( Икс ) быть плоскими волнами. Это означает, что оптическое поле, выходящее из лазера, на самом деле состоит из множества мод плоских волн с разными волновыми векторами. То есть поле находится в (квантовой) суперпозиции, занимая множество различных мод.

**** Как мало на самом деле? Я предполагаю, что в принципе так же мало, как и все, что поглощает или рассеивает свет на экране, так что, возможно, это означает атомный масштаб, из-за предела дифракции пятна будут казаться при изображении размером примерно с оптическую длину волны, λ .

***** Интересно, связана ли часть ответа на мой вопрос с терминами мультипольной связи высокого порядка? Я так не думаю. Мы можем предположить, что нет близких переходов с соответствующими правилами отбора, так что эти связи более высокого порядка не играют никакой роли.

Просто подумал об этом немного больше. Вернитесь к случаю со сплошным диском, отбрасывающим тень. В этом случае (используя классическую оптику Фурье) поле после диска представляет собой произведение поля перед диском, умноженное на двумерную маску с формой диска. В пространстве Фурье это умножение появляется как свертка. Если диск освещался плоской волной, то первоначально в к -пространственное поле было дельта-функцией. Однако после диска это свертка с преобразованием Фурье маски. Другими словами, теперь поле будет поддерживаться в конечном диапазоне волновых векторов.
Это означает, что маска не является линейным оптическим элементом. То есть он не просто ослабляет приходящие волновые векторы. Он рассеивает свет между волновыми векторами (математически посредством свертки). В своем вопросе я попытался рассматривать атом как линейный оптический элемент, который просто ослабляет определенные волновые векторы. Однако, по-видимому, мы должны учитывать перерассеяние (рассеяние вперед?) света атомом в различные оптические пространственные моды. Я думаю, что если посмотреть на это таким образом, ответ может в конечном итоге выпасть. Я не знаю, может ли формализм, который я привел выше, уловить этот эффект.
Выше я рассмотрел дипольную связь света, Е ⋅ д . В другом формализме гамильтониан связи имеет вид А ⋅ п . Мы рассматриваем преобразование Фурье пространственного представления атома. Я думаю, что этот формализм мог бы немного прояснить ситуацию. В этом формализме можно увидеть, что существует взаимодействие между импульсными модами света и импульсными модами электрона, и они могут рассеиваться друг от друга, таким образом заполняя новые импульсные моды каждого из них. . Для этого можно представить себе какую-то диаграмму КЭД Фейнмана.
Да, я думаю, что слово, которое я ищу, это рэлеевское рассеяние. Мне все еще любопытно услышать, есть ли у кого-нибудь понимание того, что я спросил. Мне также любопытно, как это рассеяние может быть выражено в формализме, который я описал выше.

Ответы (1)

Внимательно прочитав вопрос, я считаю, что проблемы ОП не имеют ничего общего с квантовой природой взаимодействия, а просто с пониманием того, как работают режимы. Чтобы увидеть это, давайте просто напишем член взаимодействия в другой форме, которая фактически также упоминается в вопросе. Ввод соответствующих функциональных зависимостей

ЧАС ^ А Ф "=" − Е ^ ( р а , т ) ⋅ д ^ ,

где р а это положение атома. Это взаимодействие является отправной точкой для получения модального изображения, которое задается OP. Это происходит из предписания минимальной связи и включает, например, приближение диполя и правильную фиксацию датчика.

Итак, давайте посмотрим на эту проблему на концептуальном уровне. У нас есть оператор электрического поля (операторнозначная функция пространства и времени), который связан с атомом.

  • Оператор поля определяется операторной версией уравнений Максвелла.
  • Атомные операторы подчиняются стандартному гамильтониану для любой структуры уровней в атоме.
  • Гамильтониан связывает эти два операторных эволюционных уравнения.

Ваша задача не в том, чтобы начать с некоторого начального условия для оператора электрического поля (или матрицы плотности) и решить эти эволюционные уравнения. Этим мы можем хотя бы ответить C)

Ответ на С): Здесь нет ничего нелокального, связь с электрическим полем есть только в положении атома (это, конечно, предполагает дипольное приближение).

Решение этих операторных уравнений, конечно, затруднительно. Но насколько я понимаю, речь идет о концептуальных вопросах, а не о том, как решить эту проблему в определенном контексте.

Отсюда становится ясно, что единственная проблема заключается в разложении по модам. Давайте вернемся назад и сначала рассмотрим вопрос B):

Б) Как присутствие атома в центре гауссова луча может повлиять на интенсивность пропускания вблизи края луча, когда они разделены многими длинами волн?

Ответ прост: свет соединяется с атомом, что вызывает локальное изменение квантового поля, которое затем распространяется в соответствии с уравнениями распространения. Здесь тоже ничего сложного.

Здесь мы уже можем видеть, почему это меняется в модальной картине. Сами модусы в некотором смысле являются нелокальным базисом . То есть вы не работаете в позиционном пространстве. Если вы хотите описать, как ведет себя локализованное поле, вы должны смотреть на суперпозиции и не можете рассматривать режимы по отдельности.

Это готовит нас к A):

А) Если связь света со всеми пространственными модами одинакова, то не будет ли влияние атома на поле подавлять передаваемую амплитуду ВСЕГО оптического рисунка на одинаковую величину? Таким образом затемняя весь рисунок, а не создавая тень?

Что ж, константа связи может быть одинаковой, но населенность каждой из мод — нет. Если вы рассматриваете линейное рассеяние, вы можете просто представить себе замену атома маленькой преломляющей сферой, что полностью эквивалентно линейному рассеянию. Тогда произойдет именно классическая интуиция, которую ОП описал примерами в вопросе, просто атом является преломляющим, а не полностью поглощающим материалом.

Да, вы правы, мой вопрос больше о модах, чем о квантовой природе. Тем не менее, есть своего рода дополнительный бит, с которым, возможно, вы можете поговорить. Давайте посмотрим на ваш ответ на A), где вы предлагаете рассмотреть возможность замены атома сферической стеклянной бусиной и предполагаете, что связь со всеми модами одинакова. Предположим, что ЕДИНСТВЕННОЕ взаимодействие между светом и материей, в которое вы верили/о котором знали, было поглощением (это взаимодействие, которое я математически описал в OP). Согласны ли вы тогда, что предсказание состоит в том, что стеклянная бусина затемнит весь узор, освещающий ее?
То есть рассеивания нет, кроме поглощения, поэтому шарик не может, например, согнуть и перенаправить свет в новом направлении. Ситуация только с поглощением — это то, что я рассматривал, потому что я предполагаю, что поглощение — это созданное под микроскопом квантовое взаимодействие между светом и атомами, о котором я узнал на любой глубине. Однако это привело меня к проблемам нелокальности, о которых я упоминал выше. Из примера с бусами ясно, что мы должны учитывать «преломляющие» эффекты, такие как преломление света из одной моды в другую.
Дополнение к моему вопросу можно было бы сформулировать так: «В условиях квантового формализма, какой формализм, помимо поглощения, нам нужно учитывать для описания тени атома? Каков квантовый подход к рассеянию света между модами, а не просто затухание одной моды материей?» Я спрашиваю о квантовой структуре, потому что понимаю классическую структуру. В классической схеме вы просто представляете стеклянную бусину как некую фазовую/абсорбционную маску и умножаете падающее поле на эту маску, чтобы получить результат. В пространстве Фурье (мод) это проявляется как свертка.
Вы сами ответили на свой вопрос: «Из примера с бусами ясно, что мы должны учитывать «преломляющие» эффекты, такие как преломление света из одной моды в другую». Именно это и происходит в квантовом случае. Взаимодействие, которое вы записали в вопросе, содержит именно это. Почти любое взаимодействие будет, ведь взаимодействие локальное, а режимы — нет. Таким образом, взаимодействие будет автоматически распределяться между режимами... что вызывает тень.
«В классической схеме вы просто представляете стеклянную бусину как некую фазовую / поглощающую маску и умножаете падающее поле на эту маску, чтобы получить результат. В пространстве Фурье (моды) это проявляется как свертка». На мой взгляд, это довольно ограниченный способ думать об этом, поскольку он применим только к определенным наборам режимов (я думаю, здесь волны волн). В более общем смысле, что происходит в классическом формализме: у вас есть волновой пакет. Вы разлагаете его на свои режимы. Ваше взаимодействие вызывает рассеяние между вашими режимами. Вы накладываете их друг на друга, чтобы увидеть, как выглядит новый волновой пакет.
Эта процедура концептуально точно такая же, как и в квантовом случае. Только у вас есть операторы/функции Вигнера/матрицы плотности/что угодно еще вместо классических волновых пакетов. Также обратите внимание, что квантовое распространение является в точности классическим в пределе линейного рассеяния.
Математический формализм, показывающий, что атом отбрасывает небольшую тень в поле фотонов, которые его освещают.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v