Метрический определитель и его частная и ковариантная производная

вопрос : ∇ а ∇ б г ф "=" ∂ а г ∂ б ф правда?

потому что ∇ а г "=" 0 так что мы можем написать г ∇ а ∇ б ф , но поскольку определитель метрики не преобразуется как скаляр, мы не можем писать частную производную вместо ковариантной производной.

г не является тензором, и мы не можем определить на нем ковариантное производное действие, поэтому я не знаю, что вы подразумеваете под ∇ а г . Можете ли вы это прояснить?
@Prahar Можно определить ковариантную производную скалярной плотности р ( Икс ) как ∇ я р "=" ( ∂ я − Г л я л ) р , ср. Общая теория относительности Н. Штраумана (2013), стр. 663. Можно легко проверить, что это удовлетворяет ∇ я г "=" 0 .
@0celo7 - круто. Не знал этого.

Ответы (2)

г "=" 1 4 ! ε а б с г ε е ф г час г а е г б ф г г г г г час ∴ ∇ м г "=" 1 3 ! ε а б с г ε е ф г час г а е г б ф г г г ∇ м г г час "=" 0 .
Обратите внимание, что ε а б с г является символом Леви-Чивиты, он постоянен. Это тензорная плотность веса 0,5 и составляет г — тензорная плотность веса 1.

Да, это правда, так как вы можете использовать правило Лейбница, как и вы, и поскольку ковариантная производная от г равен нулю, как вы говорите.

Но ваш комментарий о частичных и ковариантных производных немного вводит в заблуждение. Вопрос не в том, тензор это или плотность тензора. Если в этой точке символы Кристоффеля не равны нулю, вы никогда не сможете использовать частичные производные вместо ковариантных. И если они равны нулю, вы можете использовать частичные значения независимо от того, является ли тензор истинным тензором или тензорной плотностью, поскольку, хотя формула для ковариантной производной тензорной плотности немного отличается от формулы для истинного тензора, она все же включает только части и символы Кристоффеля.

Метрический определитель и его частная и ковариантная производная
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v