Многократные измерения одной и той же величины — объединение неопределенностей

Когда вы комбинируете измерения с разными неопределенностями, брать среднее значение неправильно. (Хорошо, если неопределенности почти одинаковы.)

Правильным решением будет анализ хи-квадрат, который придает больший вес более точным измерениям. Вот как это сделать:

Вы численно выбираете «истинное значение», которое минимизирует$\chi^2$. Это твоя лучшая догадка.

Затем используйте распределение хи-квадрат для расчета p-значения (при условии, что наилучшее предположение верно). (Степени свободы на единицу меньше числа наблюдений.) Это покажет вам, были ли ваши неопределенности разумными или вы их недооценили. Например, если одно измерение$5.0 \pm 0.1$, а другое измерение$10.0 \pm 0.1$, то вы, вероятно, недооценили свою неуверенность.

ЕСЛИ вы недооценили свои неопределенности, что на практике не является необычным, тогда правильно будет выяснить, где вы ошиблись в оценке неопределенности, и исправить ошибку. Но есть и более ленивая альтернатива, которая часто бывает достаточно хороша, если ставки невелики: вы можете масштабировать все неопределенности на один и тот же коэффициент, пока не получите разумное значение.$\chi^2$p-значение, скажем, 0,5.

Хорошо, теперь у вас есть правдоподобные погрешности измерения, либо потому, что вы делали это с самого начала, либо потому, что вы увеличили их. Затем вы пытаетесь варьировать «истинное значение» до тех пор, пока p-значение не упадет ниже, скажем, 5%. Эта процедура дает вам нижнюю границу и верхнюю границу погрешности вашего окончательного измерения наилучшего предположения.

Я не делал этого много лет, извините за неправильное воспоминание. Я думаю, это обсуждалось в Bevington&Robinson.

Вы, кажется, смешиваете здесь несколько понятий.

В частности, вас интересует ошибка в среднем, обратитесь к ошибке в сумме (которая вам нужна на пути к ошибке в среднем) и расскажите о стандартном отклонении.

(здесь все работает в наивной версии, предполагающей нулевую корреляцию.)

• Ошибка суммы неопределенных величин: $X = \sum_i x_i$а также$\Delta X = \sqrt{ \sum_i \left(\Delta x_i\right)^2 }$

• Ошибка среднего значения неопределенных величин: разделить сумму на количество измерений. Количество измерений определено , вы совсем не уверены, сколько цифр вы обработали, так что это просто деление.

  $$\bar{x} = \frac{X}{N} = \frac{\sum_i x_i}{N} \quad ,$$ а также $$\Delta \bar{x} = \frac{\Delta X}{N} = \frac{\sqrt{\sum_i \left( \Delta x_i\right)^2}}{N} \quad.$$ (Обратите внимание, что позже вы столкнетесь с фразой «ошибка среднего» в контексте больших выборок. Это другое.)

  Если вы индивидуальный$\Delta x_i$s значительно различаются, лучше использовать взвешенное среднее значение ошибки .

• Стандартное отклонение : это цифра, отражающая вашу дисперсию.$x_i$с, и рассчитывается без привязки к вашему$\Delta x_i$с. Обычно представлен с$\sigma$и мы звоним$\sigma^2$«дисперсия».

  $$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_i \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \quad ,$$ с небольшой поправкой на то, что если вам нужно получить$\bar{x}$из того же списка (который вы делаете), который вы используете $$\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_i \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \quad .$$

Если вы оценили свой$\Delta x_i$правильно, тогда должна быть связь между стандартным отклонением и ошибкой среднего, но это для другого дня.

Вы жалуетесь в своем вопросе, что ошибка среднего не достигает стандартного отклонения в пределе, который$\Delta x_i = 0$, но это потому, что они представляют разные концепции. Можно провести эксперимент, в котором отдельные измерения берутся из широкого распределения, но хорошо известны (высокое стандартное отклонение, но низкие индивидуальные неопределенности) или когда вы повторно измеряете ту же второстепенную величину с помощью плохих инструментов (нулевое стандартное отклонение, но большой$\Delta x_i$с). Во многих случаях случаи можно рассматривать с помощью одной и той же математики, но они разные.