SU(2)SU(2)SU(2) Симметрия модели Хаббарда

я путаюсь с$SU(2)$спин-вращательная симметрия фермионного гамильтониана Хаббарда. Если модель Хаббарда имеет$SU(2)$вращательной симметрии, это означает, что гамильтониан Хаббарда коммутирует с оператором глобального спина во всех направлениях:

$$\begin{equation} [\vec S, H] = 0 ~~,~~ \vec S = \frac{1}{2}\sum_{i} \begin{pmatrix} c^{\dagger}_{i \uparrow} & c^{\dagger}_{i \downarrow} \end{pmatrix} \vec{\sigma} \begin{pmatrix} c_{i \uparrow} \\ c_{i \downarrow} \end{pmatrix} \end{equation}$$ Где$\vec \sigma$— матрицы Паули в векторной форме. Мое замешательство в том, что ли$[\vec S, H] = 0$подразумевает$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$. Я доказал, что они равны нулю, но подумал, что мой расчет неверен. Причина, по которой я думаю, что мой расчет неверен, поскольку, если оба$S_{x}, S_{y} , S_{z}$коммутирует с$H$, это означает, что они одновременно имеют одни и те же собственные состояния и$[S_x, S_y] = 0$. Однако мы знаем, что из начального курса QM: $$\begin{equation} [S_{i}, S_{j}] = i \epsilon_{ijk} S_{k} ~~,~~ ijk = xyz \end{equation}$$ По моему мнению,$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$неверно, потому что они не могут удовлетворить$SU(2)$коммутационное отношение, если все коммутирует с$H$. Могу ли я узнать, правда ли, что$[\vec S, H] = 0$подразумевает$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$?