Моделирование течения жидкости с помощью уравнения Эйлера

Что касается первой половины вашего вопроса: ваше широкое понимание кажется правильным. Чтобы ответить на вопрос о том, как определить, есть ли жидкость в данной ячейке, рассмотрим, какова массовая плотность$m(x,y,t)$находится в пустой ячейке. Это просто ноль. Это уже легко обрабатывается вашей системой уравнений.

Что касается второй половины вашего вопроса, то это очень широкая тема. Имитация жидкостей, как правило, сложна, и существует множество методов, подходящих для разных ситуаций (например, из двух наиболее знакомых мне алгоритмов один очень хорош в разрешении шоков, но не так хорош в моделировании). некоторые нестабильности, такие как Рэлея-Тейлора, в то время как второй хорош для нестабильностей, но плохо для разрешения шоков). Вместо того, чтобы пытаться дать вам обширное введение в тему, для чего вам, вероятно, следует просто попытаться найти хорошую книгу, я покажу вам одну концепцию, которая, я надеюсь, поможет вам начать знакомство с увлекательным миром численных методов.

Классической отправной точкой для численных решений дифференциальных уравнений является уравнение теплопроводности в одном измерении, потому что оно простое и относительно легко решается:

$$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$$

Рассмотрим производную по времени. Одно математическое определение производной:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$

Одно из возможных приближений этой производной состоит в том, чтобы взять не предел, а$\Delta t\rightarrow0$, а просто выбрать маленькое значение для$\Delta t$, давая:

$$\frac{\partial u}{\partial t}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$

Аналогичный подход можно использовать для получения пространственной производной (одно из нескольких возможных приближений):

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{\Delta x^2}$$

Соединяя все это вместе в уравнении теплопроводности и немного переставляя, получаем:

$$u(x,t+\Delta t) = u(x,t) + \frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}\left[u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)\right]$$

Обратите внимание, что следующее состояние системы (в$t+\Delta t$, в левой части) полностью выражается через текущее состояние системы (в$t$) с правой стороны. Таким образом, вы можете закодировать это на компьютере и многократно оценивать новые состояния с достаточно небольшим выбором для$\Delta x$и$\Delta t$чтобы получить эволюцию системы.

Концептуально вы захотите проделать то же самое с вашей системой уравнений Эйлера, но, конечно, уравнения более сложные (в них больше терминов и больше полей, которые нужно отслеживать). Имейте в виду, что при численном решении вы ВСЕГДА строите приближение, поэтому в вашем решении по определению есть ошибка. Теперь игра состоит в том, чтобы (1) понять, насколько точна ваша аппроксимация, когда она верна, сходится и т. д., и (2) попытаться свести ваши ошибки к минимуму, заплатив при этом разумные затраты вычислительных ресурсов. Пример, который я привел, прост для понимания и дает примерно правильный ответ для некоторых простых сценариев, но, как правило, он плохо сходится и имеет большие ошибки. Но как только вы поймете этот базовый пример, чтение более сложных схем решения станет намного проще.