Моделирование упругих столкновений и отражений от стен в одномерном ящике из двух частиц

Я написал быстрое моделирование вашей проблемы в MATLAB ( скопировано здесь ). Я предположил, что постоянный потенциал в точке C означает, что на стенке поддерживается постоянный электрический потенциал, а это означает, что A — заряженная частица, а B — нет. Бесконечно большая стена с постоянным потенциалом приводит к постоянному электрическому полю повсюду, поэтому A движется к стене с постоянным ускорением. Это простая ситуация, поэтому я использовал ее. Я также предположил, что A упруго сталкивается с B, а B упруго сталкивается со стенкой. Наконец, A и B имеют нулевой объем.

Моделирование делает небольшие шаги во времени и обновляет положение частиц при постоянном ускорении (0 в случае B). Когда частицы сталкиваются или когда B сталкивается со стенкой, их скорости обновляются в соответствии с законом сохранения импульса и кинетической энергии.

Вот график положения A и B во времени, где A и B имеют одинаковую массу, а B начинается на полпути между A и стеной:

Это довольно хаотичное движение. Однако определенные начальные условия приводят к довольно упорядоченному движению. Вот сюжет, где$m_B = 0.655 m_A$:

Я не уверен, является ли это артефактом использования дискретных шагов в моделировании, но меньшие размеры шагов не меняют результат.

Другое исходное положение также приведет к совершенно другому движению. Вот равные массы A и B, но B начинается намного ближе к A:

Если вы пытаетесь найти интервал между отскоками, я не думаю, что вы найдете какое-то приятное выражение. Период отскока хаотичен и нерегулярен, за исключением некоторых особых начальных условий.

Частица$A$в однородном поле$U=-Fx$чувствует силу$F$. Таким образом, между столкновениями его ускорение за счет поля равно

$$a_A=\frac F {m_A}.\tag1$$

Таким образом, мы можем описать его движение между столкновениями с момента времени$t_i$как

$$x_A=x_A^{(i)}+(t-t_i)v_A^{(i)}+\frac{a_A(t-t_i)^2}2,\tag2$$

где$x_A^{(i)}$и$v_A^{(i)}$– положение и скорость частицы в момент$i$столкновение и$t_i$время$i$столкновение. Частица$B$свободен между столкновениями:

$$x_B=x_B^{(i)}+(t-t_i)v_B^{(i)}.\tag3$$

Теперь приравнивая$x_A=x_B$находим, когда частицы могли столкнуться:

$$t=\frac{a_At_i-v_A^{(i)}+v_B^{(i)}\pm\sqrt{\left(v_A^{(i)}-v_B^{(i)}\right)^2+2a_A\left(x_B^{(i)}-x_A^{(i)}\right)}}{a_A}.\tag4$$

Здесь мы должны выбрать наименьший из$t>t_i$.

Другой возможностью является столкновение любой частицы со стенкой. Частица$A$столкнется со стеной (которую мы поместим в$x=0$) в момент времени, определяемый из$x_A=0$:

$$t=\frac{a_At_i-v_A^{(i)}\pm\sqrt{\left(v_A^{(i)}\right)^2-2a_Ax_A^{(i)}}}{a_A}.\tag5$$

Здесь снова мы должны выбрать наименьший из$t>t_i$. Для частицы$B$время потенциального столкновения со стенкой равно

$$t=t_i-\frac{x^{(i)}}{v_B^{(i)}}.\tag6$$

Теперь мы должны сравнить времена потенциальных столкновений, найденные в$(4)$,$(5)$,$(6)$и взять наименьший из удовлетворяющих$t>t_i$. Это время нашего$i+1$столкновение. Вычисления$x_A$и$x_B$в это время$t_{i+1}$даст нам$x_A^{(i+1)}$и$x_B^{(i+1)}$, с которого мы перезапускаем вычисление.

Результатом будет кусочно-точное выражение для траекторий мячей, пара из которых показана в ответе @MarkH.

Обратите внимание, что эта задача в общем случае не дает периодического движения. Мы можем увидеть это, нарисовав потенциал в конфигурационном пространстве этой системы. Если взять энергию системы$E$а точки соприкосновения считать местами с$U=U_0>E$, мы будем иметь следующий потенциал:

Это очень похоже на треугольный бильярдный стол, наклоненный в сторону одной из стен. Такая система не совсем проста, чтобы заставить мяч совершать периодические движения, и в целом пути, по которым движется мяч, хаотичны.