Говорит ли неупругое столкновение о том, что мяч отскакивает к вам, когда его бросают на землю под углом?

Для двумерного плоского моделирования с нулевым трением выполните следующие действия.

Определения

• Каждое тело имеет 3 степени свободы. Это$(x_1,y_1,\theta_1)$и$(x_2,y_2,\theta_2)$определяется в центре масс.
• Каждое тело имеет массу и момент инерции массы. Это$m_1$,$m_2$и$Iz_1$,$Iz_2$.
• Контакт находится в точке А с координатами$(x_A,y_A)$и с нормальным направлением от угла$\psi$(измерено против часовой стрелки от +x).
• Коэффициент реституции$\epsilon$

Представление

• Скорость каждого тела до удара определяется вектором 3 × 1 (в координатах плоского винта в начале координат). $$\begin{aligned} v_1 &= \begin{pmatrix} \dot{x}_1 + \dot{\theta}_1 y_1 \\ \dot{y}_1 - \dot{\theta}_1 x_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} & v_2 &= \begin{pmatrix} \dot{x}_2 + \dot{\theta}_2 y_2 \\ \dot{y}_2 - \dot{\theta}_2 x_2 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

• Направление нормали контакта (силы) равно

  $$n = \begin{pmatrix} \cos \psi \\ \sin\psi \\ x_A \sin\psi - y_A \cos \psi \end{pmatrix}$$ _{Заметим, что скорость тела 1 в точке контакта по нормали к контакту находится по формуле$n \cdot v_1 = n^\top v_1 = (\dot{x}_1+\dot{\theta}_1 (y_1-y_A))\cos\psi + (\dot{y}_1-\dot{\theta}_1 (x_1-x_A))\sin\psi$}

• Обратная матрица инерции для каждого тела

$$\begin{aligned}I_{1}^{-1} & =\begin{vmatrix}\frac{1}{m_{1}}+\frac{y_{1}^{2}}{Iz_{1}} & -\frac{x_{1}y_{1}}{Iz_{1}} & \frac{y_{1}}{Iz_{1}}\\ -\frac{x_{1}y_{1}}{Iz_{1}} & \frac{1}{m_{1}}+\frac{x_{1}^{2}}{Iz_{1}} & -\frac{x_{1}}{Iz_{1}}\\ \frac{y_{1}}{Iz_{1}} & -\frac{x_{1}}{Iz_{1}} & \frac{1}{Iz_{1}} \end{vmatrix} & I_{2}^{-1} & =\begin{vmatrix}\frac{1}{m_{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{Iz_{2}} & -\frac{x_{2}y_{2}}{Iz_{2}} & \frac{y_{2}}{Iz_{2}}\\ -\frac{x_{2}y_{2}}{Iz_{2}} & \frac{1}{m_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{Iz_{2}} & -\frac{x_{2}}{Iz_{2}}\\ \frac{y_{2}}{Iz_{2}} & -\frac{x_{2}}{Iz_{2}} & \frac{1}{Iz_{2}} \end{vmatrix}\end{aligned}$$

Упругий удар

• Скорость удара (скалярная) равна

  $$v_{imp} = -n^\top (v_2-v_1)$$

• Обратная эффективная масса (скаляр) вдоль контакта каждого тела равна

  $$\begin{aligned}\mu_{1}^{-1} & =n^{\top}I_{1}^{-1}n & \mu_{2}^{-1} & =n^{\top}I_{2}^{-1}n\end{aligned}$$

• Импульс, действующий на тело 2, равен

  $$\boxed{ J = \frac{(1+\epsilon)\;v_{imp}}{\mu_{1}^{-1}+\mu_{2}^{-1}} }$$

• Влияние$J$действуя вместе$n$изменяет движение каждого тела на

  $$\begin{aligned}\Delta v_{1} & =-I_1^{-1} n\,J & \Delta v_{2} & =I_2^{-1} n\,J\end{aligned}$$

• Изменения в движении переносятся обратно в центр масс (изменение) скоростей.$\Delta \dot{x}_1$,$\Delta \dot{y}_1$и изменение вращения$\Delta \dot{\theta}_1$решив следующее определение

$$\begin{aligned} \Delta v_1 &= \begin{pmatrix} \Delta \dot{x}_1 + \Delta \dot{\theta}_1 y_1 \\ \Delta \dot{y}_1 - \Delta \dot{\theta}_1 x_1 \\ \Delta \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} & \Delta v_2 &= \begin{pmatrix} \Delta \dot{x}_2 + \Delta \dot{\theta}_2 y_2 \\ \Delta \dot{y}_2 - \Delta \dot{\theta}_2 x_2 \\ \Delta \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ударный шаг

• Конечная скорость в центре масс изменена от ступенчатых значений

$$\begin{aligned}\dot{x}_{1} & \leftarrow\dot{x}_{1}+\Delta\dot{x_{1}} & \dot{x}_{2} & \leftarrow\dot{x}_{2}+\Delta\dot{x_{2}}\\ \dot{y}_{1} & \leftarrow\dot{y}_{1}+\Delta\dot{y_{1}} & \dot{y}_{2} & \leftarrow\dot{y}_{2}+\Delta\dot{y_{2}}\\ \dot{\theta}_{1} & \leftarrow\dot{\theta}_{1}+\Delta\dot{\theta_{1}} & \dot{\theta}_{2} & \leftarrow\dot{\theta}_{2}+\Delta\dot{\theta_{2}} \end{aligned}$$

Нет. Импульс все еще сохраняется. В частности, сохраняется составляющая импульса, параллельная земле. Таким образом, если мяч движется вправо до удара о землю, он продолжит движение вправо после.

Формула, на которую вы ссылаетесь, предназначена для одномерных столкновений. Это применимо только в том случае, если элементы расположены так, что движение действительно происходит только в одном измерении. Два ваших мяча отклонятся друг от друга, потому что они ударятся не по центру. Каждый из них начал бы двигаться частично в вертикальном направлении — с равными составляющими импульса в вертикальном направлении.