Мог ли Леголас видеть так далеко?

Забавный вопрос!

Как вы указали,

Для человеческого глаза с максимальным диаметром зрачка около$9\ \mathrm{mm}$и выбрав самую короткую длину волны в видимом спектре около$390\ \mathrm{nm}$, угловое разрешение составляет около$5.3\times10^{-5}$(радианы, конечно). На расстоянии$24\ \mathrm{km}$, это соответствует линейному разрешению ($\theta d$, куда$d$расстояние) примерно$1.2\ \mathrm m$. Таким образом, подсчет всадников кажется правдоподобным, поскольку они, вероятно, разделены разрешением от одного до нескольких раз. Сравнить их высоты порядка разрешения было бы сложнее, но все же возможно с дизерингом . Возможно, Леголас много мотает головой, пока считает? Дизеринг помогает только тогда, когда дискретизация изображения (в данном случае эльфийскими фоторецепторами) хуже разрешения оптики. Человеческие глаза, по-видимому, имеют эквивалентный интервал между пикселями примерно в несколько десятых угловых минут , в то время как разрешение, ограниченное дифракцией, составляет около десятых угловых минут, поэтому для полного использования преимуществ оптики потребуется дизеринг или какой-либо другой метод.

Интерферометр имеет угловое разрешение, равное телескопу с диаметром, равным расстоянию между двумя наиболее удаленными друг от друга детекторами. У Леголаса есть два детектора (глазные яблоки), расстояние между которыми примерно в 10 раз превышает диаметр его зрачков .$75\ \mathrm{mm}$или так максимум. Это дало бы ему линейное разрешение около$15\ \mathrm{cm}$на расстоянии$24\ \mathrm{km}$, наверное, достаточно, чтобы сравнить рост всадников.

Однако интерферометрия немного сложнее. Только с двумя детекторами и одним фиксированным разделением разрешаются только объекты с угловым разделением, равным разрешению, и направление также важно. Если глаза Леголаса ориентированы горизонтально, он не сможет разрешить структуру в вертикальном направлении с помощью интерферометрических методов. Так что ему, по крайней мере, нужно будет наклонить голову вбок и, вероятно, снова много покачивать ею (включая некоторое вращение), чтобы получить достойную выборку различных базовых ориентаций. Тем не менее, похоже, что с достаточно сложным процессором (эльфийским мозгом?) он мог добиться заявленного наблюдения.

Любош Мотл указывает в своем ответе на некоторые другие возможные трудности с интерферометрией, в первую очередь на то, что комбинация полихроматического источника и расстояния между детекторами, во много раз превышающего наблюдаемую длину волны, не приводит к корреляции фазы света, попадающего на два детектора. Хотя это и правда, Леголас может обойти это, если его глаза (в частности, фоторецепторы) будут достаточно сложными, чтобы действовать одновременно как спектрометр формирования изображения с высоким разрешением или спектрограф интегрального поля и интерферометр. Таким образом, он мог выбирать сигналы заданной длины волны и использовать их в своей интерферометрической обработке.

В нескольких других ответах и ​​​​комментариях упоминается потенциальная трудность рисования линии взгляда до точки.$24\rm km$далеко из-за кривизны Земли. Как уже отмечалось, Леголасу просто нужно иметь преимущество в высоте примерно$90\ \mathrm m$(радиальное расстояние от окружности$6400\ \mathrm{km}$по радиусу касательной$24\ \mathrm{km}$по окружности; Средиземье, по-видимому, размером с Землю или может быть Землей в прошлом, хотя я не могу точно определить это с помощью канонического источника после быстрого поиска). Ему не нужно быть на вершине горы или что-то в этом роде, поэтому кажется разумным просто предположить, что география обеспечивает прямую видимость.

Напоследок немного о «чистом воздухе». В астрономии (если вы еще не догадались о моей области, теперь вы знаете.) мы называем искажения, вызванные атмосферой, «зрением» . Зрение часто измеряется в угловых секундах ($3600'' = 60' = 1^\circ$), относящийся к пределу, налагаемому на угловое разрешение атмосферными искажениями. Наилучший обзор, достигнутый с вершины горы в идеальных условиях, составляет около$1''$, или в радианах$4.8\times10^{-6}$. Это примерно такое же угловое разрешение, как у удивительных интерферометрических глаз Леголаса. Я не уверен, каково было бы видеть по горизонтали на расстоянии$24\ \mathrm{km}$. С одной стороны, воздуха намного больше, чем если смотреть вертикально вверх; атмосфера плотнее, чем$24\ \mathrm{km}$но его плотность быстро падает с высотой. С другой стороны, относительно однородные плотность и температура на фиксированной высоте вызовут меньшие изменения показателя преломления, чем в вертикальном направлении, что может улучшить видимость. Если бы мне пришлось угадывать, я бы сказал, что в очень неподвижном воздухе при одинаковой температуре он мог бы видеть так же хорошо, как$1\rm arcsec$, но в более реалистичных условиях с сияющим солнцем эффекты миража, вероятно, преобладают, ограничивая разрешение, которого может достичь Леголас.

Давайте сначала подставим цифры, чтобы посмотреть, каков требуемый диаметр зрачка по простой формуле:

Как и говорится в видео, формула дифракции, таким образом, незначительно позволяет наблюдать не только присутствие рыцарей – сосчитать их – но и незначительно их первые «внутренние детализированные» свойства, возможно, штаны темнее рубашки. Однако увидеть, является ли лидер 160 см или 180 см, явно невозможно, потому что это потребовало бы разрешения, которое было бы еще на порядок лучше. Как говорится в видео, это невозможно с видимым светом и человеческими глазами. Потребовался бы либо глаз и зрачок в 10 раз больше; или немного ультрафиолетового света с частотой в 10 раз выше.

Сужение зрачков не помогает, потому что разрешение, допускаемое дифракционной формулой, ухудшится. Значительно более размытые изображения бесполезны в качестве дополнения к самому четкому изображению. Мы знаем это и в реальном мире людей. Если чье-то зрение намного острее, чем видение кого-то другого, второй человек практически бесполезен в уточнении информации о каких-то трудноразличимых объектах.

Атмосферные эффекты, вероятно, ухудшат разрешение по сравнению с простым ожиданием выше. Даже если у нас самый чистый воздух – дело не только в чистоте воздуха; нам нужен однородный воздух с постоянной температурой и т.д., а он никогда не бывает таким однородным и статичным – он все равно искажает распространение света и подразумевает некоторое дополнительное ухудшение. Все эти соображения, конечно, совершенно академичны для меня, который мог разумно задуматься, достаточно ли резко я вижу людей с 24 метров , чтобы сосчитать их. ;-)

Даже если атмосфера ухудшает разрешение примерно в 5 раз, рыцари все равно могут индуцировать минимальные «размытые точки» на сетчатке, и пока расстояние между рыцарями больше, чем расстояние от (ухудшенного) разрешения, как 10 метров, их можно будет сосчитать.

В целом фоторецепторные клетки действительно достаточно плотные, чтобы не сильно ухудшать расчетное разрешение. Я думаю, они достаточно плотные, чтобы глаз полностью использовал ограничения, налагаемые формулой дифракции. Эволюция, вероятно, работала до предела, потому что Природе не так сложно сделать сетчатку плотной, и Природа упустила бы возможность не дать млекопитающим самое острое зрение, какое они только могут получить.

Что касается ухищрений по улучшению разрешения или обходу дифракционного предела, то их почти нет. Длительные наблюдения не помогают, если не удается наблюдать расположение точек с точностью лучше, чем расстояние до фоторецепторных клеток. Органы млекопитающих просто не могут быть такими статичными. Обработка изображений с использованием множества неизбежно размытых изображений в изменчивых местах просто не может дать четкое изображение.

Трюк с очень большим массивом тоже не работает. Это связано с тем, что очень большой массив помогает только для радиоволн (т.е. длинных), так что отдельные элементы в массиве измеряют фазу волны, а информация об относительной фазе используется для уточнения информации об источнике. Фаза видимого света — если только он не исходит от лазеров, и даже в этом случае это сомнительно — совершенно не коррелирует в двух глазах, потому что свет не монохроматичен, а расстояние между двумя глазами значительно больше, чем средняя длина волны. . Таким образом, два глаза только удваивают общую интенсивность; и дать нам трехмерное стереовидение. Последнее явно неактуально и на дистанции 24 километра. Угол, под которым два глаза смотрят, чтобы увидеть объект, удаленный на 24 км, заметно отличается от параллельных направлений. Но как только мышцы адаптируются к этим слегка непараллельным углам, то, что видят два глаза с расстояния 24 км, становится неразличимым.

Возьмем следующую идеализированную ситуацию:

• интересующее лицо стоит совершенно неподвижно и имеет фиксированный однородный цвет
• фон (трава) фиксированного однородного цвета (значительно отличающийся от человека).
• Леголас знает пропорции людей, цвета интересующего человека и фон.
• Леголас знает ФРТ своей оптической системы (включая фоторецепторы).
• Легоала знает точное положение и ориентацию своих глаз.
• Предположим, что в его фоторецепторах практически нет шума, и он имеет доступ к выходу каждого из них.

Исходя из этого, Леголас может рассчитать точный отклик своей сетчатки для любого положения и (углового) размера интересующего человека, включая любые эффекты дифракции. Затем он может сравнить этот точный шаблон с фактическими данными датчика и выбрать тот, который лучше всего соответствует — обратите внимание, что это включает в себя способ сопоставления, в котором отклик затухает, и / или любые дифракционные полосы вокруг границы изображенного человека (я предполагая, что сенсорные клетки в его глазах превышают выборку PSF оптических частей его глаз.)

(Чтобы сделать это еще проще: совершенно очевидно, что, учитывая PSF и черный прямоугольник на белом фоне, мы можем вычислить точный отклик оптической системы — я просто говорю, что Леголас может сделать то же самое для своего глаза и любой гипотетический размер/цвет человека.)

Основные ограничения на это:

1. сколько разных шаблонных гипотез он рассматривает,
2. Любой шум или турбулентность, которые искажают реакцию его глаз в сторону от вычисляемой идеальной реакции (шум можно уменьшить за счет времени интегрирования),
3. Его способность контролировать положение и ориентацию своих глаз, т.е.$2m$в$24km$только$0.01$радианы -- сопоставляется с$\approx 0.8\mu m$смещения в положении пятна на внешней стороне глаза (предполагается$1cm$радиус глазного яблока).

По сути, я набрасываю байесовский тип техники сверхвысокого разрешения, как упоминалось на странице Википедии , посвященной сверхвысокому разрешению .

Чтобы избежать проблем с смешиванием человека с его ездовым животным, давайте предположим, что Леголас наблюдал за людьми, когда они спешивались, возможно, делая перерыв. Он мог сказать, что лидер высокий, просто сравнивая относительные размеры разных людей (при условии, что они слонялись на расстоянии, намного превышающем разрешение его глаза).

Реальная сцена в книге заставляет его различать все это, пока всадники были верхом и двигались - на этом этапе мне просто нужно сказать: «Это книга», но идея о том, что предел дифракции не имеет значения , когда вы много знаете о своем оптическая система и то, на что вы смотрите , заслуживает внимания.

Кроме того, палочки человека$O(3-5\mu m)$-- это наложит фильтр нижних частот поверх любых эффектов дифракции от зрачка.

Игрушечная модель, иллюстрирующая аналогичную проблему

Позволять$B(x; x_0, dx) = 1$за$x_0 < x < x_0+dx$и быть равным нулю в противном случае; свернуться$B(x; x_0, dx_1)$а также$B(x; x_0, dx_2)$, с$dx_2>dx_1$, с некоторыми известными PSF; предположим, что это ширина этой PSF, если она намного меньше любой$dx_1, dx_2$но широкий по сравнению с$dx_2-dx_1$производить$I_1(y), I_2(y)$. (В моем понимании этой модели это реакция одной клетки сетчатки в зависимости от углового положения глаза ($y$)) Т.е. возьмите два изображения блоков разного размера и выровняйте изображения так, чтобы левые края двух блоков были в одном месте. Если затем задать вопрос: где правые края изображений пересекают выбранное пороговое значение, т.е.$I_1(y_1)=I_2(y_2)=T$ты найдешь это$y_2-y_1=dx_2-dx_1$не зависит от ширины PSF (учитывая, что он намного уже любого блока). Причина, по которой вам часто нужны острые края, заключается в том, что при наличии шума значения$y_1, y_2$будет изменяться на величину, обратно пропорциональную наклону изображения; но в отсутствие шума теоретическая возможность измерения различий в размерах не зависит от оптического разрешения.

Примечание: при сравнении этой игрушечной модели с задачей Леголаса может быть выдвинуто обоснованное возражение, что PSF ненамного меньше роста людей, изображенных на изображении. Но она служит для иллюстрации общего положения.

Одна вещь, которую вы не учли. Изгиб планеты (Средиземье по размерам и кривизне схоже с Землей). Вы можете видеть только 3 мили до горизонта океана на высоте 6 футов. Чтобы увидеть 24 км, нужно находиться почти на 100 м выше просматриваемых объектов. Таким образом, если бы Леголас не был на вершине очень (очень) высокого холма или горы, он бы не смог увидеть 24 км в первую очередь из-за кривизны планеты.

Деконволюция может работать, но она хорошо работает только в случае точечных источников , как, например, указано здесь . Принцип прост; размытие из-за конечной апертуры - это известное математическое отображение, которое отображает изображение с гипотетически бесконечным разрешением в изображение с конечным разрешением. Учитывая размытое изображение, вы можете попытаться инвертировать это сопоставление. Размытое изображение точечного источника, которое должно было бы затронуть только один пиксель, если бы изображение было полностью неразмытым, называется функцией рассеяния точки. Отображение размытого изображения полностью определяется функцией рассеяния точки. Существуют различные алгоритмы, способные уменьшить размытость изображения до некоторого приближения, например, деконволюция Ричардсона-Люси или метод фильтра Винера .

На практике вы не можете полностью развернуть изображение, потому что это включает в себя деление преобразования Фурье размытого изображения на преобразование Фурье функции рассеяния точки, а последнее будет стремиться к нулю при больших волновых числах. Это означает, что вы в конечном итоге будете усиливать шум при высоких волновых числах, а именно при высоких волновых числах присутствуют мелкомасштабные детали. Таким образом, разрешение, которое вы можете получить, в конечном итоге будет ограничено шумом.

Леголасу, вероятно, нужен только один глаз, если у него достаточно времени и он может проводить достаточно точные спектральные измерения.

Во-первых, обратите внимание, что Леголас наблюдал в солнечный день; мы предположим, что между интенсивностью инцидента и альбедо этот объект отражал порядка$100 \mathrm{W}/\mathrm{m}^2$свет, который примерно$10^{22}$фотонов в секунду. На 24 км это примерно$10^8$фотонов на$\mathrm{cm}^2$.

Мы не уверены, насколько велики глаза Леголаса, поскольку в книгах об этом не говорится, но мы можем предположить, что они не являются чудовищно огромными, то есть порядка 1 см в диаметре, что дает ему примерно 1 см в диаметре.$6 \cdot 10^{-5}$угловое разрешение в радианах или примерно$1.5 \mathrm{m}$. Как уже было сказано, этого должно быть достаточно для подсчета количества всадников.

Теперь есть два фактора, которые чрезвычайно важны. Во-первых, всадники двигаются. Таким образом, глядя на временные корреляции в спектрах, Леголас может в принципе сделать вывод, чем спектры всадников отличаются от фона. Можно также предположить, что он знаком со спектрами различных обычных объектов (кожа, волосы разных цветов и т. д.). Таким образом, он может создать смешанную модель с меньшим разрешением, в которой он выдвигает гипотезу.$n$объектов различных спектров и пытается найти размер/яркость каждого. Это, вероятно, самая сложная часть, так как спектры многих предметов имеют тенденцию быть довольно широкими, что приводит к существенному перекрытию спектров. Предположим, что искомый объект имеет всего 10% отличие спектрального профиля от остальных (в сумме). Тогда при времени интегрирования в одну секунду у него будет фотонный дробовой шум порядка$10^4$фотонов, а сигнал примерно$A\cdot10^7$фотоны где$A$- относительная яркость целевого объекта в пределах дифракционно-ограниченного поля зрения.

Поскольку микроскопия со сверхвысоким разрешением может разрешать элементы, приблизительно пропорциональные SNR (простейший пример: если источник полностью находится в одном пикселе, весь в другом или в какой-то части между ними, вам просто нужно сравнить интенсивность в этих двух пикселях), это означает, что Леголас потенциально мог найти яркий объект внутри порядка$1.5 \mathrm{mm}$. Если он, например, использует блеск шлема и стремени, он может адекватно измерить рост и выделить такие детали, как «желтые их волосы».

В духе вашего вопроса, имея два глаза и предполагая, что вы можете использовать их как массив (что требует измерения фазы света, чего глаза не делают), вы можете использовать расстояние между ними для$D$в уравнении разрешения. Я не знаю расстояния между глазами эльфа, так что воспользуюсь$6 cm$для удобства. С фиолетовым светом$\lambda = 430 nm$, мы получаем$\theta \approx 1.22\frac {430\cdot 10^{-9}}{0.06}=8.7\cdot 10^{-6}$. На расстоянии$24 km$, это дает разрешение$21 cm$. Вы, вероятно, можете различить всадников, но оценить рост очень сложно.

Другая проблема — кривизна Земли. Если радиус Земли$6400 km$можно нарисовать прямоугольный треугольник с катетами$24, 6400$и обнаружить, что другой$6400.045$, так что он должен быть только на$45 m$высокий холм. Дымка будет проблемой.

Вот еще одна возможность, о которой еще не упоминалось. Если объект А может быть полностью скрыт за другим объектом аналогичной формы В, то В должен быть больше А. И наоборот, А проходит за В и остается частично видимым все время, это свидетельствует о том, что А больше, чем В (или что A не проходит прямо за B, давайте пока проигнорируем эту возможность).

В ситуации с Леголасом, если у лидера есть какая-то отличительная черта (блестящий шлем, разноцветная куртка) и Леголас может видеть часть этого цвета, когда лидер проходит позади других в своей группе, я бы сделал вывод, что лидер выше. В данном случае разрешение не имеет значения. Леголас может сказать, какой объект находится впереди, потому что количество фотонов цвета лидера будет уменьшено, как если бы планета проходила перед далекой звездой.

Существует также геометрическое ограничение для того, чтобы видеть так далеко. Я ответил на вопросы по математике.SE. Стоя на ровной поверхности, Леголас смог бы видеть только на 4,8 км из-за кривизны планеты (при условии, что Средиземье находится на планете, похожей на нашу). Чтобы видеть так далеко, ему пришлось бы взобраться на холм или дерево высотой около 50 м.