Можем ли мы сделать вывод о существовании периодических решений задачи трех тел на основании численных данных?

Похоже, что они смогли строго доказать существование хореографий N тел, используя интервальный метод Кравчика, чтобы показать, что минимум существует для вариационной задачи, решаемой в подпространстве полного фазового пространства, удовлетворяющего некоторым условиям симметрии.

Следуя приведенным ссылкам, я нашел эту статью , где они объясняют метод. Это не совсем легкое чтиво, но на странице 6 говорится: «Если все эти условия выполнены, то из теоремы 4.5 мы уверены, что в множестве$Z \times \{c_0\}$есть начальное условие для хореографии. Более того, поскольку множество Z обычно очень мало, форма доказанной хореографии очень похожа на наше первое приближение».

Звучит так, будто они начинают с «начального предположения», они могут показать, что существует «точное решение», очень близкое к этому исходному предположению. И, вероятно, можно получить кривую, сколь угодно близкую к реальному решению, путем все более и более точных вычислений. Но существование хореографии строго установлено с помощью их численного метода.

Обратите внимание, что в начале статьи они упоминают решения, полученные обычными численными методами, как «решения, полученные нестрогим численным способом».

Не тот ответ, который вы хотите, но ... Я прочитал данные из некоторых источников выше. И я видел некоторые проблемы с N-телом.

Что сказать - несимплектический подход у$[0,\infty]$по умолчанию нестабилен. Рунге-Кутта, любые количественные методы - неустойчивы. Отсутствие стабильности является общей проблемой. Он держится для многих$[0,\infty]$проблемы.

Поиск периодических$[0,T]$почти совпадает с решением$[0,\tau]$с некоторыми нюансами.

Но в принципе нет ответа на следующий вопрос (который в принципе эргодичный, но более глубокий и изощренный, чем$3n+1$проблема):

Сколько времени требуется телу, чтобы приобрести свободную скорость и выйти из системы в зависимости от заданных начальных условий?

Симплектический подход может создать виртуальное «реальное» решение, к которому вы движетесь с помощью некоторого ряда или другого метода расширения. Затем вы можете извлекать серию за серией и превращать проблему в символический хаос. Есть поле для текущих исследований.

Приложение1. Что это за так называемая «хореография»?

1. Они находят$F([0,T])$решение. Это известный подход, проверенный для многих уравнений. T — очень ограниченный параметр. Что, если существует бесчисленное количество орбит. Эти выводы забавны, но полезны ли они? Симметрии не помогают, когда вам нужно свободное решение для тела.
2. Когда они обманывают с$1/r$часть потенциала - это очень плохо, потому что если их заставляют это делать , они изначально все делают не так . Квантование времени Рунге-Кутта и другие подобные методы «фиксированного порядка Тейлора» неверны в своей внутренней части при приближении к начальному$[0,\infty]$проблема. Но они работают в итеративном режиме исправления ошибок для$[0,\tau]$. Так что в основном это ребята делают$[0,\tau]$, когда им повезет, они застряли в$[0,T]$решение для небольших$T$, и назовите это "правильным". Но в основном это работа уровня домашнего задания для какого-то числового университетского курса о методах Тэйлора ОДУ.

У них есть решение численной задачи, но нет доказательств того, что эта численная схема абсолютно интегрируема в реальную орбиту. Для интеграции на орбиту необходимо описать механизм, с помощью которого добавление дополнительных вычислений позволяет иметь

$$\Delta(\text{solution at any time})<\epsilon$$ для любого заданного $\epsilon$и любое время. Каждый существующий метод с квантованным интегрированием по времени приводит к $$\Delta(\text{solution})\sim \exp (t).$$

Так что это не может быть абсолютно интегрируемым, вы не свободны в выборе$\epsilon$.