Потенциал осесимметричного диска с постоянной скоростью вращения

Question

Потенциал осесимметричного диска с постоянной скоростью вращения

косатка

Мне трудно понять, почему форма трехмерного потенциала для диска с постоянной скоростью вращения для круговых орбит звезд внутри диска

\begin{matrix} (1) & в (р) "=" в_{0}, \end{matrix}

$\begin{equation} v(R) = v_0, \tag{1} \end{equation}$

должен быть в форме

\begin{matrix} (2) & Φ (р, г) "=" в_{0}^{2} п (р + | г |), \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi(r,z)=v_0^2 \ln{(r+|z|)},\tag{2} \end{equation}$

где $(r,\theta,\phi)$ сферические координаты и $(R,\theta,z)$ - цилиндрические координаты.

Определение потенциала $\Phi$ по Грину (в терминах точечно-массовой функции Грина) есть

\begin{matrix} (3) & Φ (Икс) "=" - г \int \frac{р (у)}{| Икс - у |} г^{3} у . \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi(\mathbf{x}) = -G \int{\frac{\rho({\mathbf{y}})}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \; d^3 \mathbf{y}}.\tag{3} \end{equation}$

И я уже выяснил, что поверхностная плотность

\begin{matrix} (4) & Σ (р) "=" \frac{в_{0}^{2}}{2 π г} \frac{1}{р} дельта (г), \end{matrix}

$\begin{equation} \Sigma(R) = \frac{v_0^2}{2\pi G} \frac{1}{R} \delta(z),\tag{4} \end{equation}$

то есть диск бесконечно тонкий.

Математически я не понимаю, как это может дать $z$ -зависимость, так как $\delta(z)$ вырубает сразу! Однако я физически вижу , что потенциал должен зависеть от $z$ независимо от $r$ , так как он должен быть осесимметричным, а не сферически симметричным.

Буду признателен за совет по поводу этого кажущегося несоответствия между физикой проблемы и ее математическим описанием.

Хавьер

The

z

$z$ внутри

δ

$\delta$ есть, если положить в уравнение

(3)

$(3)$ , z-компонента

y

$\mathbf{y}$ .

z

$z$ вы видите в

(2)

$(2)$ является z-компонентой

x

$\mathbf{x}$ , который жив и здоров, поскольку он не интегрируется и на него не влияет дельта-функция.

Ответы (1)

Потенциал осесимметричного диска с постоянной скоростью вращения

The $z$ внутри $\delta$ есть, если положить в уравнение $(3)$ , z-компонента $\mathbf{y}$ . $z$ вы видите в $(2)$ является z-компонентой $\mathbf{x}$ , который жив и здоров, поскольку он не интегрируется и на него не влияет дельта-функция.

Qмеханик · Answer 1

Подсказки:

Заметим, что производная знаковой функции
$\begin{matrix} (А) & {с г н}^{'} (г) "=" 2 дельта (г) \end{matrix}$ ${\rm sgn}^{\prime}(z)~=~2\delta(z) \tag{A}$ в два раза больше дельта-распределения Дирака . Этот факт, кажется, лежит в основе вопроса ОП.
Повторяющиеся дифференцировки потенциала Местельского диска
$\begin{matrix} (Б) & Φ "=" в_{0}^{2} п (р + | г |), р "=" \sqrt{р^{2} + г^{2}}, \end{matrix}$ $\Phi~:=~ v_0^2 \ln(r+|z|), \qquad r~:=~\sqrt{R^2+z^2}, \tag{B}$ приводит к $\begin{matrix} (С) & \frac{\partial Φ}{\partial г} "=" в_{0}^{2} \frac{с г н (г)}{р}, \end{matrix}$ $\frac{\partial \Phi}{\partial z}~=~v_0^2\frac{{\rm sgn}(z)}{r},\tag{C}$ $\begin{matrix} (Д) & \frac{\partial^{2} Φ}{\partial г^{2}} "=" - в_{0}^{2} \frac{| г |}{р^{3}} + \frac{2 в_{0}^{2}}{р} дельта (г), \end{matrix}$ $\frac{\partial ^2\Phi}{\partial z^2}~=~-v_0^2\frac{|z|}{r^3}+\frac{2v_0^2}{R}\delta(z),\tag{D}$ $\begin{matrix} (Е) & \frac{1}{р} \frac{\partial}{\partial р} р \frac{\partial Φ}{\partial р} "=" \frac{в_{0}^{2} | г |}{р^{3}}, \end{matrix}$ $\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}R\frac{\partial\Phi}{\partial R}~=~\frac{v_0^2|z|}{r^3},\tag{E}$ $\begin{matrix} (Ф) & 4 π г р "=" \nabla^{2} Φ "=" \frac{2 в_{0}^{2}}{р} дельта (г) . \end{matrix}$ $4\pi G \rho~=~\nabla^2\Phi~=~\frac{2v_0^2}{R}\delta(z).\tag{F}$ Приведенным выше расчетам можно придать строгий смысл в теории распределения , т. е. с помощью пробных функций.
Для тонкого двумерного диска массовая плотность равна
$\begin{matrix} (Г) & р "=" Σ дельта (г), \end{matrix}$ $\rho~=~\Sigma \delta(z),\tag{G}$ так что поверхностная плотность $\begin{matrix} (ЧАС) & Σ \overset{(Ф) + (г)}{"="} \frac{в_{0}^{2}}{2 π г р} . \end{matrix}$ $\Sigma~\stackrel{(F)+(G)}{=}~\frac{v_0^2}{2\pi G R}.\tag{H}$

Использованная литература:

Дж. Бинни и С. Тремейн, Galactic Dynamics, 2-е издание (2008 г.); п. 99.

Потенциал осесимметричного диска с постоянной скоростью вращения

косатка

Хавьер

Ответы (1)

Qмеханик

Почему нет сферических галактик?

Сколько времени понадобится галактике, чтобы схлопнуться без темной материи?

Как образуются спиральные рукава?

Приливные хвосты галактик после столкновения

Изображение опор

Путаница звездообразования

Расчет плотности темной материи

Явное решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы, которое начинается как дельта-функция

Почему существуют звездные границы?

Считается ли притяжение между двумя галактиками темной материей?