Может ли гипотетическая вселенная иметь более двух типов измерений: пространственное и временное?

Наша модель пространства-времени — это модель многообразия , которая является математическим термином для чего-то похожего на$\mathbb{R}^n$в любом увеличенном патче, и где все эти патчи сшиты между собой осмысленным образом. На нашем коллекторе имеем$n$координаты -- вещественные числа, описывающие каждую точку и плавно меняющиеся от точки к точке.

Мы также добавляем в нашу модель понятие углов и размеров, и это достигается с помощью метрики $g$, что дает нам внутренний продукт между векторами. Например, если у вас есть вектор направления$\vec{v}_1$и другой$\vec{v}_2$, угол между ними$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2)$. Если$\vec{v}$является касательным вектором вдоль некоторого пути, то$g(\vec{v}, \vec{v})$дает что-то вроде квадрата бесконечно малого расстояния вдоль пути (поэтому квадратный корень и интегрирование дают вам общее расстояние).

Теперь мы берем$g$обладать некоторыми основными свойствами.

• Он должен линейно воздействовать на свои аргументы, например$g(\vec{v}_1+\vec{v}_2, \vec{v}_3) = g(\vec{v}_1, \vec{v}_3) + g(\vec{v}_2, \vec{v}_3)$. Без этого свойства угол между двумя физическими направлениями зависел бы от того, как вы решите записать формулу. Таким образом, вы можете представлять$g$как$n \times n$матрица, где скалярное значение$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2)$дается матричным умножением вектора-строки$\vec{v}_1$, матрица$g$и вектор-столбец$\vec{v}_2$.
• Кроме того, мы требуем$g$быть симметричным:$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = g(\vec{v}_2, \vec{v}_1)$, всегда. Без этого свойства угол между двумя направлениями зависел бы от того, какое направление вы записываете первым.
• И если это было непонятно,$g$должны возвращать только действительные числа. (Что вообще может означать комплексный угол?) Поскольку его входные данные состоят только из действительных чисел (поскольку сами координаты действительны), это означает$g$поскольку матрица может иметь только реальные записи.

Теперь, когда у нас есть реальная симметричная матрица, мы можем применить к ней все виды стандартных результатов линейной алгебры. В частности, собственные значения такой матрицы должны быть действительными. Кроме того, мы можем диагонализовать$g$в любой точке такой, что его собственные значения становятся$0$или$\pm1$. Физически это означает, что мы можем изменить координаты в точке таким образом, что единичные векторы направления в этой точке имеют длину в квадрате.$0$или$\pm1$.

дегенерат _ $0$случай проблематичен и часто является признаком того, что ваше математическое описание не работает. В любом случае направление координат, соответствующее собственному значению$0$было бы нулевым — направлением в пространстве-времени, выбранным чем-то, движущимся со скоростью света.

Это оставляет$\pm1$случаи. Если направление единичной координаты имеет длину в квадрате$+1$, назовем направление пространственноподобным . Если это$-1$, назовем направление времениподобным . Null — это пограничный случай между ними, но опять же, использование нулевых координат проблематично.

В результате наших разумных физически мотивированных требований к$g$, нет места для других типов размеров. Если$g$диагонализуется к тому, чтобы иметь$s$ $+1$'песок$t$ $-1$, это соответствует$s$пространственные размеры и$t$времениподобные. В частности, изменяя координаты, мы можем преобразовать любые ненулевые действительные числа в$\pm1$, а комплексные числа полностью запрещены.

Над вещественными числами любая невырожденная квадратичная форма определяется (с точностью до смены базиса) своей сигнатурой, состоящей целиком из$1$песок$-1$с.