Возможности общей теории относительности применимы только к измерениям 3+1?

Сначала я расскажу о некоторых вполне физических различиях, которых, возможно, уже достаточно для ваших интересов. Позже я также упомяну, как математически вещи могут быть своего рода уникальными в четырех измерениях.

Физические предсказания

Есть результаты, которые зависят от количества пространственных измерений. Например, тензор Римана имеет$\frac{d^2 (d^2-1)}{12}$независимые компоненты в$d=n+1$пространственные размеры. Это означает, что

• в$3+1$размеры, он имеет$20$независимые компоненты.$10$в тензоре Риччи ,$10$в тензоре Вейля ;
• в$2+1$размеры, он имеет$6$независимые компоненты. Все они принадлежат тензору Риччи, так как тензор Вейля обращается в нуль на многообразиях размерности меньше$4$;
• в$1+1$размеры, он имеет один независимый компонент. Он соответствует скаляру Риччи .

Уравнения Эйнштейна читаются

Рассмотрим, что происходит в вакууме:$T_{ab} = 0$. Во всех измерениях, но$d=2$, мы получаем$R_{ab} = 0$. Если$d=4$, у нас все еще может быть кривизна, потому что только$10$компоненты тензора Римана находятся на тензоре Риччи, поэтому может быть ненулевая кривизна. Именно это позволяет Земле вращаться вокруг Солнца: хотя Земля находится в вакууме, пространство-время все равно искривлено.

В$d=3$, дела обстоят не так. Уравнения Эйнштейна говорят нам, что тензор Риччи равен нулю, но все независимые компоненты тензора Римана находятся в тензоре Риччи. Следовательно, в$d=3$, в вакууме нет кривизны. В этом смысле гравитация больше не является дальнодействующей, она присутствует только там, где присутствует материя.

Давайте теперь рассмотрим$d=2$. В данном случае мы действительно имеем это$R_{ab} = \frac{1}{2}R g_{ab}$ всегда . Тензор Эйнштейна всегда равен нулю. Следовательно, уравнения Эйнштейна на самом деле подразумевают только то, что тензор энергии-импульса должен обращаться в нуль, что сильно отличается от того, что мы получаем в других измерениях.

Короче говоря, размерность пространства-времени может оказать значительное влияние на физические предсказания общей теории относительности. В книге Падманабхана «Гравитация: основы и границы» есть глава, посвященная гравитации в других измерениях, которые могут вас заинтересовать. Хотя я упомянул гравитацию только в низших измерениях, она также охватывает гравитацию в более высоких измерениях.

Четыре измерения сложны (топологически говоря)

Дифференциальная топология довольно сложна в четырех измерениях. Например, если ваше пространство топологически равно (т. е. гомеоморфно)$\mathbb{R}^n$, то он наверняка имеет ту же дифференциальную структуру, что и$\mathbb{R}^n$(т.е. они диффеоморфны). Пока не$n=4$. В этом случае существует бесконечно много возможных различных дифференциальных структур, известных как экзотические.$\mathbb{R}^4$. _ Это всего лишь один пример того, как все может стать грубым. Короче говоря, методы, применимые к большим измерениям, терпят неудачу.$d=4$, как и методы, применимые к низким измерениям. Как говорится в этом обзоре К. Манолеску , «это делает его [$d=4$] самое сложное измерение для изучения».

я не эксперт в$d=4$топологии и в этом абзаце использовано почти все, что я о ней знаю, но я хочу сказать, что не только физические предсказания зависят от размерности пространства-времени, но даже более общие свойства дифференциальной геометрии в значительной степени зависят от размерности многообразия и могут быть весьма сложно в частном случае$d=4$.

Забавный факт: знакомые измерения 3+1 — единственное число измерений, в которых существуют стабильные планетарные орбиты.