Может ли «свободный запуск» из космического лифта быть бесплатным?

Это простой расчет в законе сохранения углового момента.

Угловой момент однородной сферы равен${2\over 5}MR^2\omega$. Предположим, что Земля представляет собой однородную сферу (достаточно близкую для этого вопроса), поэтому$M=5.972\times 10^{24}\,\mathrm{kg}$,$R=6371\,\mathrm{km}$(среднее) и$\omega=7.292\times 10^{-5}\,\mathrm{s}$. Итак, угловой момент Земли равен$L_e=7.071\times 10^{33}\mathrm{kg\,m^2\over s}$.

Угловой момент небольшого объекта, вращающегося вокруг точки, равен$mr^2\omega$.$\omega$не меняется при подъеме на лифте, просто$r$. Таким образом, изменение углового момента равно$\Delta L=m\omega(r_f^2-r_i^2)$.$\omega$это Земля выше.

Чтобы изменить скорость вращения Земли на$1\,\mathrm{s}$, нам нужно изменить его угловой момент на$1\over 86164$что это было, так$\Delta L=8.206\times 10^{28}\mathrm{kg\,m^2\over s}$. Предполагая космический лифт на экваторе и используя экваториальный радиус Земли,$6378\,\mathrm{km}$, а также$100000\,\mathrm{km}$выше этого мы получаем$\Delta L=8.206\times 10^{28}\mathrm{kg\,m^2\over s}=m\omega\left(\left(106378\,\mathrm{km}\right)^2-\left(6378\,\mathrm{km}\right)^2\right)$. До такой степени, что$m$уменьшает (или увеличивает)$M$, также есть небольшое изменение скорости вращения для данного углового момента при его освобождении. Однако здесь это незначительно.

Это можно упростить и приблизить, чтобы лучше увидеть чувствительность, как:$m={2\over 5}M{\Delta T\over T}{R^2\over H^2}$, куда$T$- период вращения Земли,$\Delta T$это небольшая сумма, на которую вы хотите его изменить, и$H$- радиус точки выпуска из лифта.$m$это количество массы, которое нужно отпустить в точке выпуска, чтобы вызвать изменение периода вращения на$\Delta T$.

Это дает$m\approx 10^{17}\mathrm{kg}$. Около миллиарда (по американскому образцу) ваших авианосцев.

Если бы каждый космический корабль размером с авианосец перевозил лишь горстку людей, то мы могли бы эвакуировать все человеческое население с Земли, только замедляя Землю на одну секунду. Так что я бы сказал, что с практической точки зрения да, космический лифт бесплатен. Вы просто должны заплатить энергию, чтобы подняться на эту высоту, которая довольно мала по сравнению с энергией от скорости, которую вы получаете.

FWIW, я с Артуром Кларком во всем этом деле с космическим лифтом. Нет никакого «бесплатного обеда» (или это «бесплатный запуск»?) с любым «космическим лифтом», который предположительно способен принять полезный груз с немалой массой и с непренебрежимо малым сопротивлением воздуха в нижних слоях атмосферы. в стратосферу и выше. На самом деле не имеет значения, куда мы поместим этот предполагаемый «космический лифт», поэтому я воспользуюсь несколькими сокращениями, чтобы ответить на этот вопрос как можно проще. Примите это как есть, мне неинтересно обсуждать "космические лифты".

Для вашего первого вопроса нет верхнего предела, кроме удаления общей массы Земли. Оставшаяся масса по-прежнему будет иметь радиальную скорость, равную общей массе, только ее кинетический потенциал будет снижаться по мере уменьшения вращения массы, поэтому она будет более склонна к изменениям скорости вращения, если мы добавим часть этой массы обратно. позже.

Второй вопрос также относительно прост, если предположить, что кинетический потенциал добавленной массы в направлении вращения Земли равен нулю, т.е. она опущена прямо перпендикулярно к поверхности Земли и сброшена на любой из полюсов (другой ответ от @MarkAdler уже включает расчеты падения массы на экваторе):

Итак, это выходит как$1/86400$  массы Земли ($5.972 * 10^{23} kg$), который$6.9123 * 10^{18} kg$, если мой ввод данных был правильным. Но, пожалуйста, проверьте еще раз. ;)

Но если предположить, что мой карманный калькулятор не врёт, получится следующее:

• 72 929 329 875 (почти 73 миллиарда) авианосцев USS Enterprise (CVN-65)
• 57 602 623 456 791 (добрых 57 с половиной триллионов) полностью загруженных орбитальных шаттлов.