На каком расстоянии от этих планет должна находиться эта луна?

Является ли это возможным? Абсолютно. Плутон и Харон связаны приливами , и все же у Плутона есть еще четыре спутника ¹ . Харон относительно массивен по сравнению с Плутоном - около одной двенадцатой его массы. Действительно, центр масс системы находится вне Плутона. Я не вижу причин, по которым стабильность должна различаться для двух двойных планет.

Это, однако, не дает нам ответа о внутреннем диапазоне орбит. Мне неизвестны глубокие анализы динамики естественных спутников двойных планет. Однако анализ околодвойных планет, вращающихся вокруг двойных звезд, существует, и мы можем использовать здесь ту же орбитальную механику.

Уэлш и др. (2013) состояние ²

Критерий стабильности требует, чтобы планета вращалась вокруг орбиты примерно в 2–4 раза больше большой полуоси бинарной системы или периодов, в 3–8 раз превышающих бинарный период.

Ну вот. Так что луна должна иметь

• Большая полуось на расстоянии не менее 26 350 километров (в два раза больше большой полуоси, что составляет половину расстояния разделения) за пределами орбиты планет.
• Период не менее 72 часов (в три раза больше орбитального периода планет).

Вот диаграмма, как вы и хотели, для бонусных баллов (правда, немного не так - я делал это в Paint):

Здесь,$a$является большой полуосью планет.

^{1 Три из них находятся в резонансе друг с другом, и возмущения со стороны других тел обеспечивают хаотичность системы, но не кажется, что их орбиты нестабильны.
2 Я допускаю, что критерий может отличаться из-за разницы в массе — Луна будет намного массивнее по отношению к планетам, чем планета, находящаяся в околоземной системе, по отношению к двойной звезде, — но я не думаю, что это будет иметь огромное значение. .}

Да.

Вы хотите, чтобы ваша луна была стабильной в течение 10 миллиардов лет. Давайте посмотрим на нашу Луну: она вращается вокруг нашей Земли на расстоянии 384 400 км, с периодом 29 дней, 12 часов и 44 м и средней скоростью, равной 1022 м/с. По мере того, как система передает угловой момент от вращения Земли на орбиту Луны, Луна медленно удаляется (4 см в год). После того, как Земля сблизится с Луной, система начнет передавать угловой момент из системы Земля-Луна в систему Земля-Солнце, и Луна снова начнет приближаться. Однако Солнце поглотит их обоих до того, как Луна столкнется с Землей.

Теперь давайте поместим нашу Луну в вашу систему и рассмотрим стабильность. Я не знаю всей математики, но, зная, что наша Луна, вероятно, будет стабильной еще несколько миллиардов лет, в этом случае можно с уверенностью предположить, что она будет стабильной и здесь: основываясь на том факте, что планеты вращаются вокруг друг друга с расстояние 26 350 км, то их орбита слишком близка, чтобы создавать проблемы с орбитой Луны. Я бы просто уменьшил размер Луны, чтобы на нее меньше повлияло столкновение между планетами (если вы этого хотите) и чтобы сделать систему более стабильной (хотя я думаю, что она должна быть стабильной).

Я написал этот ответ, предполагая, что масса планет равна Земле или немного больше, и что ваши планеты не вращаются вокруг звезды M или K. Если это не так, то стабильность не гарантируется. Я знаю, что написал только о конкретной ситуации, но я надеюсь, что это все еще полезно.

Вы хотите, чтобы ваша луна вращалась за пределами предела Роша и внутри сферы влияния.

Ряд проблем: (1) вам нужно будет рассчитать параметры орбиты клонов Земли и (2) вам нужно будет рассчитать параметры орбиты луны, вращающейся вокруг массы размером с две Земли, с учетом определенного периода обращения.

Невозможно рассчитать (2) без знания времени, необходимого этой Луне для обращения по орбите. Однако первое можно сделать.

Один день равен 86400 секунд. Масса Земли 5,972×10 ²⁴ кг.

Поскольку мы знаем T, гравитационную постоянную G и M, находим R. Ответ: 42109,77324 километра. Так что вам придется поставить его дальше, чем это. Теперь предел Роша для каждой Земли, вероятно, может быть аппроксимирован исходя из предела Роша для самой Земли. То есть 18 470 км.

Значит, дальше 26165,8 + 18470 км, или 44 000 км. Что бы это ни было, вы можете поставить его туда, где сейчас находится Земля со стабильностью. Естественно, сейчас это сложная задача трех тел, так что эта проблема актуальна.