Символ Кристоффеля для параболических координат

Мне интересно, почему я получаю все символы Кристоффеля для параболических координат

п ( Икс , у ) "=" Икс д ( Икс , у ) "=" у − Икс 2 / 2
НУЛЬ ? Метрика для этой координаты
г α β "=" ( 1 − п − п 1 + п 2 )
или
г α β "=" ( 1 + п 2 п п 1 ) .

Почему кто-то проголосовал бы за него без объяснения причин?
Будет ли математика лучшим домом для этого вопроса?
Ну, я уверен, что связи равны нулю. Я просто ищу хороший ответ, чтобы физически объяснить, почему?
Я сделал ошибку, есть одно соединение, которое не равно нулю Г п п д . Я думаю, что ветка не совсем бесполезна, так как у нас есть пример, где только одно соединение кодирует кривизну координат.

Ответы (1)

Пока ОП ошибся в расчетах и ​​не все Г α β мю равны нулю, можно спросить, каковы условия на метрику для всех Г α β мю быть нулем.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала выяснить, до какого класса эквивалентности связь определяет метрику. Ну, а если связь Г α β мю совместим с метрикой г мю ν , то по определению должно выполняться следующее дифференциальное уравнение:

∇ р г мю ν "=" 0

Это дифференциальное уравнение первого порядка, поэтому константа интегрирования у него одна - если известна метрика в одной точке, то связь определяет ее однозначно.

Теперь по делу Г α β мю "=" 0 , приведенное выше уравнение сводится к

∂ р г мю ν "=" 0.

Вывод таков: связь исчезает тогда и только тогда, когда метрический тензор постоянен.

Поэтому, если вы получите свои Кристоффели равными нулю для непостоянной метрики, то легко увидеть, что вы ошиблись в своих вычислениях.

Вывод здесь правильный, но будьте осторожны, говоря о константах интегрирования (и их количестве) при работе с уравнениями в частных производных.
Символ Кристоффеля для параболических координат
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v