Преобразование координат, в результате которого ds2=y2dx2+x2dy2ds2=y2dx2+x2dy2ds^2 = y^2 dx^2 + x^2 dy^2

Обозначим

$$x=x(x',y'),\\ y=y(x',y'),$$ затем $$dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'+\frac{\partial x}{\partial y'}dy',\\ dy=\frac{\partial y}{\partial x'}dx'+\frac{\partial y}{\partial y'}dy'.$$ Сейчас $dx^2+dy^2=y'^2dx'^2+x'^2dy'^2$подразумевает $$\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial x'}\right)^2=y'^2,\\ \left(\frac{\partial x}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial y'}\right)^2=x'^2,\\ \left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\left(\frac{\partial x}{\partial y'}\right)=-\left(\frac{\partial y}{\partial x'}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial y'}\right).$$ Теперь мы можем попробовать $\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)=\left(\frac{\partial y}{\partial x'}\right)$(другой можно исправить соответственно), который оказывается не работает. Тогда мы можем попробовать $\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)=\left(\frac{\partial y}{\partial y'}\right)$, окончательно получаем следующее преобразование: $$x=\frac{\sqrt{2}}{2}x'y';\\ y=\frac{\sqrt{2}}{4}y'^2-\frac{\sqrt{2}}{4}x'^2.$$ Теперь мы можем это проверить $$dx^2+dy^2=y'^2dx'^2+x'^2dy'^2.$$

Ответ на этот вопрос был дан на математическом форуме stackexchange, здесь , благодаря сотрудничеству трех любезных пользователей. Подробности о том, как было дано решение, стоит посмотреть.

Это преобразование координат с этим линейным элементом в декартову:

$$\begin{cases} \bar x=\frac{1}{2}xy\cos(\ln(y/x))-\frac{1}{2}xy\sin(\ln(y/x)) \\ \bar y=\frac{1}{2}xy\sin(\ln(y/x))+\frac{1}{2}xy\cos(\ln(y/x)) \\ \end{cases}$$