Как работает диамагнитная левитация?

Неоднородное магнитное поле отталкивает объект, в котором диамагнетизм является преобладающим магнитным поведением. Мы определим магнитную левитацию как процесс, посредством которого магнитное поле поднимает объект на некоторую высоту и удерживает его там в равновесии с гравитацией. Другими словами, мы хотим, чтобы восходящая магнитная сила уравновешивала нисходящую гравитационную силу:

$$(\mathbf m\cdot\nabla)\mathbf B=\rho V\mathbf g$$ Индуцированный магнитный момент $\mathbf m$в объекте объема$V$и магнитная восприимчивость $\chi$при размещении приложенного магнитного поля$\mathbf B$является$\frac\chi{\mu_0}V\mathbf B$. Впредь я буду обходиться без векторных обозначений, считая все движение вдоль (вертикальной) оси z. В точке равновесия$z_0$, тогда необходимая магнитная сила равна $$F_B(z_0)=\frac\chi{\mu_0}VB(z_0)\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\bigg|_{z_0}\overset{!}{=}\rho Vg$$ $$B(z_0)\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\bigg|_{z_0}\overset{!}{=}\frac{\mu_0}\chi\rho g\tag{1}$$ Естественно,$B(z')\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\big|_{z'}>\frac{\mu_0}\chi\rho g$для$0<z'<z_0$пока$B(z')\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\big|_{z'}<\frac{\mu_0}\chi\rho g$для$z_0<z'$так что небольшие отклонения от равновесия вызывают простое гармоническое движение, гарантируя, что объект остается парящим в одном месте.

В большинстве установок используется некоторая вариация конструкции соленоидальной катушки, разработанная таким образом, что напряженность магнитного поля строго уменьшается с высотой - это предполагает, что точка перегиба на$B(z){-}z$график является подходящей высотой для равновесия, так как мы можем наложить выше условие восстановления SHM. Падение поля можно регулировать, например, изменением плотности витков в соленоиде на высоте$z$, грубо говоря, через соотношение$\mathrm dB = \mu_0 I \lambda\ \mathrm dz$. После того, как конкретная установка откалибрована, этот профиль снижения фактически не зависит от напряженности поля в основании, поэтому настройка этого бесплатного параметра$B_0$(например, путем изменения тока через соленоид) производит только вертикальное масштабирование в$B(z){-}z$график. Это означает, что мы можем стремиться к максимальной эффективности без повторных измерений градиента поля.

Вот профиль магнитного поля в Десмосе. Если это неясно, красная кривая отображает напряженность магнитного поля на разных высотах, где «пик» обозначает максимальную напряженность поля в основании установки, «равновесная высота» представляет собой координату z точки перегиба и$\mathrm dB/\mathrm dz$- наклон фиолетовой линии. Как видно, форма большинства магнитных профилей позволит нам выполнить точный линеаризованный анализ в точке перегиба.

Левитация человека

Для аппроксимации пиковой напряженности магнитного поля на высоте$z$:

$$\frac12\frac{\mathrm d(B(z)^2)}{\mathrm dz}\overset{!}{=}\mu_0 g\frac{\rho}{\chi} \\\Delta(B^2)\approx2\mu_0 g\frac{\rho}{\chi}\Delta z$$ $$B\sim\sqrt{z}\tag{2}$$ Из уравнения$(1)$мы видим, что, что интересно, необходимый профиль магнитного поля не зависит от массы объекта, а только от его плотности и магнитной восприимчивости. Хорошо известно, что плотность человека примерно равна плотности воды, т.$1000\ \mathrm{kg/m^3}$, хотя для более детального анализа мы бы рассмотрели плотность костей, мышц и жира. Немного сложнее найти авторитетный источник по величине объемной магнитной восприимчивости, но мы снова можем оценить ее как такую ​​же, как у воды, около$-9.0\times10^{-6}$. Эти числа были бы довольно одинаковыми для большинства живых существ, устанавливая правую часть$(1)$вокруг$1400\ \mathrm{T^2/m}$. Таким образом, можно было бы наивно подумать, что аналогичная установка для эксперимента с левитацией лягушки с использованием${\sim}16\text{ T}$также должен уметь поднимать в воздух людей (да и большинство млекопитающих/земноводных).

Единственная проблема - высота поля. Из нашего приближения в$(2)$, мы видим, что необходимая пиковая магнитная сила должна изменяться примерно как квадратный корень из высоты поля. Поскольку человек намного крупнее лягушки во всех измерениях, потребуется более крупная установка, поддерживающая такой градиент, что автоматически означает, что нам потребуется более крупная установка.$B_0$. Поскольку прямоходящий человек примерно в 30 раз выше средней экспериментальной лягушки, пиковая напряженность магнитного поля должна быть около$16\sqrt{30}\approx88\text{ T}$, с соответствующей верхней границей градиента поля в равновесии$1400/88\approx16\ \mathrm{T/m}$.

Можно смягчить это, положив испытуемого горизонтально, но для этого потребуется соленоид с соответственно большим радиусом, что, в свою очередь, потребует большей мощности для поддержания того же поля, истощая и без того жалкое экспериментальное финансирование.

Практические соображения

Для теоретика совершенно не существует этических соображений. Однако на практике хрупкость человеческого тела вызывает раздражение: воздействие магнитных полей выше$8\text{ T}$даже на короткое время невероятно опасен для человека. Для непосвященных магнитное поле Земли , достаточное для вращения стрелки компаса, составляет около 50 мкТл , и даже мощный МРТ-сканер имеет силу только$1.5\text{ T}$. Кроме того, слишком большой градиент магнитного поля может привести к спагеттизации субъекта в различной степени.

Конечно, это можно было бы обойти с помощью хитрой инженерии, но в нашей упрощенной версии человека, левитирующего внутри соленоида, ограничения кажутся непреодолимыми: нам нужно

1. равновесие в точке перегиба
2. базовая напряженность поля$B_0<8\text{ T}$
3. градиент магнитного поля$1440/B_0>180\ \mathrm{T/m}$на равновесной высоте
4. поскольку даже человек в горизонтальном положении представляет собой вытянутое тело, достаточно большая область устойчивости, чтобы допустить восстанавливающую силу на максимальную и минимальную вертикальную протяженность тела, удерживая его в равновесии.

Второе условие влечет за собой третье, но условия 3 и 4 противоречат друг другу: резкий градиент, очевидно, исключает большую область устойчивости: незначительное отклонение от равновесия порождает ангармонические колебания, заставляющие тело непредсказуемо и зрелищно вылетать из равновесие. Таким образом, у нас есть очень очевидный компромисс между безопасностью объекта (пиковая напряженность магнитного поля) и эффективностью установки (диапазон высоты для стабильности). Соленоидная система с$B_0=88\text{ T}$однако очень эффективен, так как градиент$16\ \mathrm{T/m}$имеет высокую устойчивую область, в которой может поместиться лежащий человек, позволяя давлению над и под поверхностью тела действовать как гармоническая восстанавливающая сила обратно к точке равновесия.

Не принимая во внимание осуществимость этой игрушечной модели, мы должны добавить, что не существует «одной» (пиковой) напряженности магнитного поля, которая работает — вы можете уменьшить пиковую напряженность магнитного поля ценой пропорционального увеличения градиента и, следовательно, уменьшения диапазона стабильности ( при условии, конечно, что значительная часть объекта все еще остается внутри него).

Здесь мы использовали чрезвычайно простой анализ, который не вычисляет строго стабильную область и не принимает во внимание латеральную устойчивость (см. оригинальную статью Гейма ). Эвристически определение стабильной области сводится к нахождению области действия простого гармонического условия, приведенного выше, с помощью энергетических аргументов.